Quiz compacité, arcs et normes d’opérateurs en MP

Quiz compacité, arcs et normes d’opérateurs en maths spé (MP)

Dix questions éclair pour tester tes réflexes de topologie : reconnaître un compact, invoquer le bon théorème, calculer une norme subordonnée et juger une continuité.

La partie \(\{(x,y) : x^2 + 4y^2 \leq 9\}\) de \(\mathbb{R}^2\) est-elle compacte ?

A.Non, elle contient une infinité de pointsB.Oui, simplement parce qu’elle est convexeC.Non, elle n’est pas ouverteD.Oui, fermée et bornée en dimension finie

Sur \(\mathbb{R}[X]\) muni de la norme sup des coefficients, \(P \mapsto P^{\prime}\) est-elle continue ?

A.Oui, car elle est linéaireB.Oui, car les normes sont équivalentesC.Non, car elle n’est pas injectiveD.Non, rapport non borné sur les \(X^n\)

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express passe en revue les réflexes de topologie attendus en deuxième année : reconnaître une partie compacte en dimension finie, savoir ce que garantit l’image continue d’un compact, citer le théorème de Heine au bon moment, repérer une partie qui n’est pas connexe par arcs. Tu y calcules aussi des normes subordonnées de matrices et tu décides si une application linéaire est continue ou non.

Fais-le sans brouillon, puis reviens sur chaque réponse en citant l’hypothèse qui la justifie : fermeture, caractère borné, dimension finie, critère de continuité des applications linéaires. C’est un échauffement efficace avant une colle ou un oral, où l’on attend une justification nette en une phrase, et une révision rapide avant un devoir surveillé d’analyse. Si une question te résiste, refais la preuve correspondante du cours avant de retenter le quiz.

Aller plus loin sur compacité, arcs et normes d’opérateurs

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Questions fréquentes : compacité, arcs et normes d’opérateurs en MP

Une partie fermée et bornée est-elle toujours compacte ?

Oui en dimension finie. En dimension infinie, c’est faux : la boule unité fermée d’un espace normé de dimension infinie n’est jamais compacte.

Comment montrer qu’une application linéaire n’est pas continue ?

Exhibe une suite de vecteurs de norme 1 dont les images ont des normes qui tendent vers l’infini : aucune constante \(C\) ne peut alors convenir.

Pourquoi la compacité sert-elle à prouver l’existence d’un minimum ?

Une fonction continue à valeurs réelles sur un compact non vide est bornée et atteint ses bornes. On se ramène donc à un compact sur lequel la fonction atteint son minimum.

Quiz compacité, arcs et normes d’opérateurs en maths spé (MP)

L’intervalle \([0,1[\) est-il une partie compacte de \(\mathbb{R}\) ?

La partie \(\{(x,y) : x^2 + 4y^2 \leq 9\}\) de \(\mathbb{R}^2\) est-elle compacte ?

Matrice de lignes \((1, -4)\) et \((2, 0)\) : sa norme subordonnée à \(\|\cdot\|_\infty\) ?

Même matrice : sa norme subordonnée à \(\|\cdot\|_1\) ?

Sur \(\mathbb{R}[X]\) muni de la norme sup des coefficients, \(P \mapsto P^{\prime}\) est-elle continue ?

\(f\) continue sur un compact non vide, à valeurs réelles. Que garantit le cours ?

Quel théorème donne l’uniforme continuité de \(t \mapsto \sqrt{t}\) sur \([0,4]\) ?

Laquelle de ces parties n’est pas connexe par arcs ?

Sur \(\mathbb{R}^3\), plus petite constante \(c\) telle que \(\|x\|_1 \leq c\,\|x\|_\infty\) ?

\(u\) linéaire entre espaces normés. \(u\) est continue si et seulement si :

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

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