QCM : Convergence uniforme et normale en maths spé (MP)

Réponse C.

Pour \(x\) fixé, \(\tfrac{x}{n}\) tend vers 0 et \(\sin u\sim u\) en 0. Ainsi \(n\sin(x/n)\sim n\cdot\tfrac{x}{n}=x\). Le piège 0 voit seulement que le sinus tend vers 0, en oubliant le facteur \(n\). Quant à la limite 1, elle vient de la limite usuelle \(\tfrac{\sin u}{u}\to 1\), mal recopiée.

Réponse D.

La dérivée a le signe de \(n-x^2\), donc \(f_n\) est maximale en \(\sqrt n\), où elle vaut \(\tfrac{\sqrt n}{2n}=\tfrac{1}{2\sqrt n}\). Par conséquent, la convergence vers 0 est uniforme. Le piège \(\tfrac{1}{n+1}\) évalue simplement en \(x=1\), qui n’est pas le point du maximum. La réponse \(\tfrac{1}{2n}\) oublie la racine carrée.

Réponse B.

La limite simple vaut \(\tfrac{\pi}{2}\) pour \(x>0\), 0 en 0 et \(-\tfrac{\pi}{2}\) pour \(x<0\). Or une limite uniforme de fonctions continues est continue. Ainsi la convergence ne peut pas être uniforme sur \(\mathbb{R}\). Le piège « non bornée » est faux, puisque arctangente reste entre \(-\tfrac\pi2\) et \(\tfrac\pi2\). De plus, \(g_n(0)=0\) pour tout \(n\).

Réponse A.

Sur \([a,+\infty[\), l’écart \(\tfrac\pi2-\arctan(nx)\) est décroissant en \(x\), donc majoré par \(\tfrac\pi2-\arctan(na)\), qui tend vers 0. Cependant, sur \(]0,+\infty[\), le point \(x=\tfrac1n\) donne un écart \(\tfrac\pi4\) : la convergence n’y est pas uniforme. On parle donc de convergence uniforme locale, à distance de 0.

Réponse D.

C’est le théorème de la double limite : il exige la convergence uniforme sur un voisinage du point étudié. En effet, \(x^{1/n}\) sur \(]0,1]\) donne \(\ell_n=0\), alors que la limite simple vaut 1 partout. La convergence simple ne suffit donc pas. Le piège « sur tout \([a,1]\) » exclut justement le voisinage de 0, là où tout se joue.

Réponse C.

On calcule \(\int_0^1 x^n(1-x)\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{n+1}-\tfrac{1}{n+2}\). Ainsi l’intégrale vaut \(\tfrac{n^2}{(n+1)(n+2)}\), qui tend vers 1. Pourtant la limite simple est nulle sur \([0,1]\). Le piège 0 intervertit limite et intégrale sans justification : la convergence n’est pas uniforme ici, car \(\|h_n\|_\infty\) tend vers \(+\infty\).

Réponse D.

L’écart \(\sqrt{x^2+a^2}-|x|\) est maximal en 0, où il vaut \(a=\tfrac1n\) : la convergence est donc uniforme. Cependant \(|x|\) n’est pas dérivable en 0. Pour dériver une limite, il faut la convergence uniforme des dérivées. Or \(k_n^{\prime}(x)=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+1/n^2}}\) tend vers le signe de \(x\), qui est discontinu.

Réponse B.

On a \(\big|\tfrac{\cos(nx)}{n^2+1}\big|\leqslant\tfrac{1}{n^2+1}\), terme général d’une série convergente : la convergence est normale. En revanche, la série exponentielle ne converge normalement que sur les segments, car \(\sup|x^n|/n!\) est infini sur \(\mathbb{R}\). Pour les deux autres, la borne uniforme du terme général est de l’ordre de \(\tfrac1n\), dont la série diverge.

Réponse B.

Pour \(x\) fixé, le critère des séries alternées s’applique, et le reste d’ordre \(n\) est majoré par \(\tfrac{1}{n+1+x^2}\leqslant\tfrac{1}{n+1}\). Ainsi les restes tendent uniformément vers 0. Cependant le sup du terme général vaut \(\tfrac1n\), atteint en \(x=0\), et la série harmonique diverge. Le piège « normale » confond donc ces deux modes.

Réponse A.

La série dérivée a pour terme \(-\tfrac{e^{-nx}}{n}\). Sur \([a,+\infty[\), il est majoré par \(\tfrac{e^{-na}}{n}\), terme d’une série convergente. Par conséquent, \(S\) est \(C^1\) sur chaque \([a,+\infty[\), donc sur \(]0,+\infty[\). Le piège sur \(]0,+\infty[\) entier est faux : le sup vaut \(\tfrac1n\). La convergence de \(S\) seule ne contrôle pas les dérivées.

Réponse A.

La série géométrique \(\sum x^n\) vaut \(\tfrac{1}{1-x}\), et la série dérivée converge normalement sur tout \([-r,r]\) avec \(r<1\). On peut donc dériver terme à terme : on obtient \(\tfrac{1}{(1-x)^2}\). Le piège \(\tfrac{x}{(1-x)^2}\) correspond à \(\sum nx^n\), décalée d’un rang. Le signe moins oublie que la dérivée de \(1-x\) vaut \(-1\).

Réponse C.

Pour \(n\) et \(m\) assez grands, \(P_n-P_m\) est bornée sur \(\mathbb{R}\), donc constante. Ainsi \(P_n=P_N+c_n\), où \((c_n)\) converge, et la limite est un polynôme. Le piège « n’importe quelle fonction continue » applique le théorème de Weierstrass, qui ne vaut que sur un segment. Enfin, \(P_n=X\) pour tout \(n\) montre que \(f\) n’est pas forcément bornée.