Quiz modes de convergence des fonctions en MP

Quiz modes de convergence des fonctions en maths spé (MP)

Dix questions éclair pour distinguer convergence simple, uniforme et normale, et retrouver la bonne hypothèse avant d'intervertir limite, intégrale ou dérivée.

Pourquoi \(f_n(x)=x^n\) ne converge-t-elle pas uniformément sur \([0,1]\) ?

A.Les fonctions f_n ne sont pas bornéesB.La suite diverge au point 1C.Les fonctions f_n ne sont pas dérivablesD.Sa limite simple n'est pas continue

Pour dériver terme à terme une série de fonctions de classe C1, la clé est :

A.convergence uniforme de la série seuleB.convergence uniforme de la série des dérivéesC.convergence simple de la série des dérivéesD.dérivées toutes bornées une à une

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express cible les automatismes sur les suites et séries de fonctions : reconnaître pourquoi une convergence n'est pas uniforme, calculer une norme infinie par une étude de fonction rapide, justifier une convergence normale par une majoration indépendante de x, et choisir l'hypothèse qui autorise une dérivation terme à terme. Une question rappelle aussi sur quel type d'ensemble s'applique le théorème de Weierstrass.

Chaque énoncé tient en une ligne et se tranche en moins d'une minute : si tu hésites, c'est qu'un théorème d'interversion n'est pas encore solide. Fais le quiz avant une colle d'analyse, puis après avoir repris tes exemples classiques de non-convergence uniforme. La veille d'un concours blanc, vise dix sur dix et relis les hypothèses exactes de chaque théorème que tu as manqué.

Aller plus loin sur modes de convergence des fonctions

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Questions fréquentes : modes de convergence des fonctions en MP

Comment montrer qu'une convergence n'est pas uniforme ?

Exhibe une suite de points x_n pour laquelle f_n(x_n) − f(x_n) ne tend pas vers 0. Une autre voie rapide : si les f_n sont continues et la limite simple ne l'est pas, la convergence ne peut pas être uniforme.

La convergence normale est-elle indispensable ?

Non, elle sert seulement de critère pratique, car elle entraîne la convergence uniforme. Certaines séries alternées convergent uniformément sans converger normalement, et on utilise alors la majoration du reste.

Quelle convergence faut-il pour intégrer terme à terme sur un segment ?

La convergence uniforme de la série sur ce segment suffit, avec des fonctions continues. Sur un intervalle quelconque, il faut un autre outil, comme le théorème d'intégration terme à terme avec convergence de la série des intégrales des modules.

Quiz modes de convergence des fonctions en maths spé (MP)

Pourquoi \(f_n(x)=x^n\) ne converge-t-elle pas uniformément sur \([0,1]\) ?

Sur \([0,+\infty[\), que vaut la norme infinie de \(x \mapsto x\,e^{-nx}\) ?

Sur \(\mathbb{R}\), la série \(\sum_{k \geqslant 1} \frac{\cos(kx)}{k^3}\) converge :

Quelle implication est fausse en général pour une série de fonctions ?

Pour dériver terme à terme une série de fonctions de classe C1, la clé est :

\(f_n(x)=n^2x\,e^{-nx}\) tend simplement vers 0 sur \([0,1]\). Limite de \(\int_0^1 f_n\) ?

Le théorème de Weierstrass approche uniformément par des polynômes une fonction continue sur :

Les \(f_n\) sont continues et convergent uniformément vers f sur I. Alors f est :

Si \(\sum u_n\) converge uniformément sur I, alors forcément :

La suite \(f_n(x)=e^{-nx}\) converge uniformément vers 0 sur :

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

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