Quiz séries entières en dix réflexes en MP

Quiz séries entières en dix réflexes en maths spé (MP)

Un quiz rapide pour trouver un rayon de tête, sommer une série entière usuelle et choisir le bon théorème quand on arrive au bord.

Quel résultat permet de faire tendre \(x\) vers \(1^-\) dans une somme quand la série converge en \(x=1\) ?

A.La convergence normale sur \([0,1]\)B.Le théorème d'Abel radialC.Le lemme d'AbelD.La règle de d'Alembert

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express fait travailler les automatismes sur les séries entières : lire un rayon de convergence avec la règle de d'Alembert ou par comparaison, gérer une série lacunaire en \(z^{2n}\), sommer une série obtenue par dérivation terme à terme et décider du comportement aux bornes de l'intervalle. Deux questions portent aussi sur le produit de Cauchy et sur la convergence normale.

Lance-le avant une colle ou au début d'une séance de TD : chaque question se résout en une minute si les énoncés du cours sont nets. Une erreur sur le bord ou sur le rayon du produit indique souvent une confusion entre ce qui est garanti et ce qui est seulement possible. Relis alors le théorème d'Abel radial et le lemme d'Abel, puis refais le quiz plus tard dans la semaine. Un 8 sur 10 stable est un bon signal avant le partiel.

Aller plus loin sur séries entières en dix réflexes

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Questions fréquentes : séries entières en dix réflexes en MP

La série dérivée a-t-elle le même domaine de convergence que la série de départ ?

Elle a le même rayon, mais le comportement au bord peut changer. Une série qui converge en un point du bord peut avoir une série dérivée qui y diverge.

Quand utiliser la règle de d'Alembert pour un rayon ?

Quand les coefficients sont non nuls à partir d'un rang et que le quotient de deux coefficients consécutifs a une limite simple. Pour une série lacunaire, on l'applique plutôt au terme complet.

Le théorème d'Abel radial donne-t-il la continuité jusqu'au bord ?

Il donne la limite radiale en un point du bord où la série numérique converge. Elle est alors égale à la somme de cette série, ce qui sert à calculer des sommes classiques.

Quiz séries entières en dix réflexes en maths spé (MP)

Rayon de convergence de \(\sum \frac{n\,z^n}{7^n}\) ?

Rayon de convergence de \(\sum \frac{3^n}{(n+1)!}z^n\) ?

Rayon de convergence de la série lacunaire \(\sum 9^n z^{2n}\) ?

Si \(|a_n|\leq|b_n|\) pour tout \(n\), que dire des rayons \(R_a\) et \(R_b\) ?

En dérivant la série géométrique, que vaut \(\sum_{n\geq 1} n\left(\frac12\right)^n\) ?

Ensemble des réels \(x\) où converge \(\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n^3}\) ?

Rayon du produit de Cauchy de deux séries entières de rayons \(R_a\) et \(R_b\) ?

Une série entière de rayon \(R\) converge normalement sur :

La série dérivée terme à terme d'une série entière de rayon \(R\) a pour rayon :

Quel résultat permet de faire tendre \(x\) vers \(1^-\) dans une somme quand la série converge en \(x=1\) ?

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

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