Quiz fonctions sommes de séries entières en MP

Quiz fonctions sommes de séries entières en maths spé (MP)

Dix questions courtes pour retrouver de tête un coefficient, un rayon ou la bonne stratégie quand on te demande de développer une fonction autour de 0.

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz rapide entraîne les réflexes des développements en série entière : lire un coefficient dans un développement usuel, relier les coefficients aux dérivées en 0, retrouver un rayon de convergence sans calcul et choisir entre opérations sur les développements connus, primitive ou équation différentielle. Une question rappelle aussi qu'une fonction de classe infinie n'est pas toujours développable.

Utilise-le avant une colle ou en préparation d'un TD : réponds vite, puis vérifie chaque coefficient en réécrivant le terme général du développement concerné. Les erreurs de signe et de factorielle sont les plus fréquentes, alors prends le temps de comprendre d'où vient chacune. À la veille d'un partiel, refais-le en visant dix bonnes réponses : si tu bloques, c'est que la liste des développements usuels doit être reprise, en particulier les fonctions hyperboliques et la puissance réelle.

Aller plus loin sur fonctions sommes de séries entières

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Questions fréquentes : fonctions sommes de séries entières en MP

Une fonction de classe infinie est-elle toujours développable en série entière ?

Non. Il faut en plus que sa série de Taylor converge vers elle au voisinage de 0. La fonction égale à exponentielle de moins un sur x carré, prolongée par 0, est l'exemple classique : toutes ses dérivées en 0 sont nulles.

Comment trouver le rayon d'un développement obtenu par opérations ?

Le rayon d'une somme ou d'un produit est au moins le plus petit des rayons. Par dérivation ou primitivation terme à terme, le rayon ne change pas.

Quand utiliser la méthode de l'équation différentielle ?

Quand la fonction vérifie une équation différentielle linéaire simple, comme la puissance réelle de un plus x. On cherche une série solution, on obtient une relation de récurrence sur les coefficients, puis on invoque l'unicité de la solution du problème de Cauchy.

Quiz fonctions sommes de séries entières en maths spé (MP)

Coefficient de \(x^5\) dans le développement de \(\sin x\) :

Rayon de convergence du développement de \(\ln(1+x)\) :

Si \(f(x)=\sum a_n x^n\) au voisinage de 0, alors \(a_n\) vaut :

\(x \mapsto e^{-1/x^2}\), prolongée par 0 en 0, est :

Coefficient de \(x^7\) dans le développement de \(\arctan x\) :

Coefficient de \(x^6\) dans le développement de \(\cosh x\) :

Coefficient de \(x^2\) dans le développement de \(\sqrt{1+x}\) :

Pour \(\frac{1}{2-x}\) : coefficient de \(x^n\) et rayon ?

Le chemin le plus court pour développer \(\arcsin\) en 0 :

Une fonction paire développable en série entière a ses coefficients :

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