Quiz intégrales dépendant d'un paramètre en MP

Quiz intégrales dépendant d'un paramètre en maths spé (MP)

Dix questions rapides pour tester tes réflexes d'intégration : dominer au bon endroit, passer à la limite, dériver sous le signe somme et manier la fonction Gamma.

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express porte sur les automatismes d'intégration avancée de deuxième année : choisir une fonction dominante intégrable, calculer une limite d'intégrales sans se tromper de valeur, dériver une intégrale à paramètre, connaître les valeurs clés de la fonction Gamma. Chaque question se traite en quelques secondes, et la correction immédiate te montre si le réflexe est acquis ou s'il faut revoir l'hypothèse.

Fais-le avant une colle ou un TD, puis de nouveau la veille du partiel. Les distracteurs reprennent les erreurs les plus courantes : oublier que la dominante doit être indépendante du paramètre, dominer sur tout l'intervalle alors qu'une domination locale suffit, confondre deux valeurs de Gamma, ou intervertir somme et intégrale sans contrôler la série des intégrales des valeurs absolues. Vise le dix sur dix, puis refais les calculs à la main pour fixer les méthodes de convergence dominée.

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Questions fréquentes : intégrales dépendant d'un paramètre en MP

Que faire si je ne trouve pas de dominante sur tout l'intervalle du paramètre ?

Pour la continuité ou la dérivabilité, il suffit de dominer sur chaque segment inclus dans cet intervalle, ou sur chaque demi-droite, puisque ce sont des propriétés locales.

La dominante a-t-elle le droit de dépendre de n ou de x ?

Non. Elle ne doit dépendre que de la variable d'intégration, et elle doit être intégrable sur l'intervalle ; sinon le théorème ne s'applique pas.

Pourquoi Gamma de n + 1 vaut-il factorielle n ?

Une intégration par parties donne Gamma de x + 1 égal à x fois Gamma de x, et Gamma de 1 vaut 1. Par récurrence on obtient la factorielle aux entiers.

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Que vaut \(\Gamma(6)\) ?

Que vaut \(\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\) ?

Convergence dominée : la fonction \(\varphi\) qui domine doit être :

Limite quand \(n \to +\infty\) de \(\int_0^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^n}\) ?

\(F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt}\,dt\) pour \(x > 0\) : que vaut \(F^{\prime}(1)\) ?

Avec Gamma, valeur de \(\int_0^{+\infty} u^2\,e^{-3u}\,du\) ?

Continuité de \(F\) sur \(]0, +\infty[\) : où suffit-il de dominer ?

Intégration terme à terme sur un intervalle quelconque : quelle série doit converger ?

\(G(s) = \int_0^{+\infty} e^{-2u}\sin(su)\,du\) : que vaut \(G(2)\) ?

Équivalent de \(\Gamma(x)\) quand \(x \to 0^+\) ?

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

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