Quiz intégrales impropres et fonctions intégrables en MP

Quiz intégrales impropres et fonctions intégrables en maths spé (MP)

Dix questions rapides pour vérifier tes réflexes sur les intégrales généralisées : comparaisons, valeurs classiques, hypothèses à citer et pièges de la semi-convergence.

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express travaille les automatismes indispensables quand l'intervalle n'est plus un segment : repérer les bornes à problème, comparer à une fonction de Riemann, calculer de tête quelques intégrales usuelles et reconnaître une intégrale semi-convergente. Il insiste aussi sur les hypothèses que les correcteurs attendent : positivité pour la comparaison, limites finies du crochet pour l'intégration par parties généralisée, bijection de classe C1 pour un changement de variable.

Fais-le juste avant une colle ou un TD d'analyse, sans brouillon si possible. Une mauvaise réponse indique en général une hypothèse oubliée plutôt qu'une erreur de calcul : relis alors l'énoncé précis du théorème. La semaine d'un partiel, refais-le chronométré et vise dix bonnes réponses en moins de huit minutes.

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Questions fréquentes : intégrales impropres et fonctions intégrables en MP

Si mon intégrale converge, ma fonction est-elle forcément intégrable ?

Pas toujours. Être intégrable demande que le module de f ait lui aussi une intégrale finie ; cos t sur racine de t, sur [1, +∞[, montre qu'on peut avoir l'un sans l'autre.

Puis-je comparer par équivalents une fonction oscillante ?

Non, ce critère suppose que f garde un signe fixe près de la borne étudiée. Quand f oscille, une intégration par parties ramène en général à une fonction intégrable.

Faut-il étudier les deux bornes séparément ?

Oui, quand les deux bornes posent problème, on coupe l'intervalle en un point intermédiaire et on étudie chaque morceau. L'intégrale converge seulement si les deux morceaux convergent.

Quiz intégrales impropres et fonctions intégrables en maths spé (MP)

Sur \(]0,+\infty[\), la fonction \(t\mapsto\frac{1}{\sqrt{t}\,(1+t)}\) est…

Valeur de \(\int_0^{+\infty} t\,e^{-3t}\,dt\) ?

Valeur de \(\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2}\,dt\) ?

L'intégrale \(\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}\,dt\) est…

Conclure que \(f\) est intégrable à partir de \(f\leq g\), \(g\) intégrable, exige encore…

Hypothèse clé d'une intégration par parties sur \(]a,b[\) ?

Valeur de \(\int_0^1 \ln t\,dt\) ?

Équivalent en \(+\infty\) de \(\int_x^{+\infty}\frac{dt}{t^2+t^4}\) ?

Argument direct pour l'intégrabilité de \(e^{-t^2}\) sur \([0,+\infty[\) ?

Avec \(t=u^2\), \(\int_0^{+\infty}e^{-\sqrt{t}}\,dt\) devient…

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

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