QCM : Décomposition en éléments simples en maths sup (MPSI)

Réponse D.

On factorise : \(X^2-1=(X-1)(X+1)\) et \(X^2-3X+2=(X-1)(X-2)\). Le seul facteur commun est \(X-1\), qui est unitaire, donc c’est le PGCD. La réponse \(2X-2\) est un diviseur commun de même degré ; cependant, par convention, le PGCD est choisi unitaire. Le produit des trois facteurs correspond au PPCM. Enfin, \(1\) supposerait les polynômes premiers entre eux, ce que la racine commune \(1\) contredit.

Réponse C.

On vérifie directement : \(-X+(X+1)=1\). Le couple opposé donne \(X-(X+1)=-1\) : c’est une erreur de signe. Avec \(U=V=1\), on obtient \(2X+1\), qui n’est pas constant. Enfin, \(X^2-X^2-X=-X\) ne convient pas non plus. Ainsi, il suffit ici de remarquer que \((X+1)-X=1\) ; pour des degrés plus grands, on remonte l’algorithme d’Euclide.

Réponse A.

Le lemme de Gauss exige que \(A\) soit premier avec le facteur que l’on retire. La version sans hypothèse est fausse : en effet, \(X^2\) divise \(X\cdot X\) sans diviser \(X\). La version avec \(A\wedge C=1\) se trompe de facteur ; elle conduirait à \(A\) constant. Enfin, être premier avec \(B\) et avec \(C\) donne \(A\wedge BC=1\), donc le contraire d’une divisibilité.

Réponse B.

On met d’abord \(F\) sous forme irréductible. Or \(X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)\) et \(X^2-1=(X+1)(X-1)\), donc \(F=\frac{X^2-X+1}{X-1}\). Ainsi \(-1\) n’est pas un pôle : c’est le piège de la fraction non simplifiée. Le numérateur vaut \(1\) en \(1\), donc \(1\) est bien un pôle, de multiplicité \(1\) puisque \(X-1\) figure une seule fois au dénominateur.

Réponse B.

La partie entière est le quotient de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. D’abord, \(2X^3=2X(X^2-X)+2X^2\). Il reste donc \(2X^2+X+1\), puis \(2X^2+X+1=2(X^2-X)+3X+1\). Par conséquent, le quotient vaut \(2X+2\) et le reste \(3X+1\). La réponse \(2X\) s’arrête après la première étape. Le signe de \(2X-2\) vient d’un \(-X\) mal soustrait.

Réponse C.

Pour un pôle simple, on multiplie par le facteur correspondant puis on évalue. Ainsi \(a=\frac{1+3}{1+2}=\frac{4}{3}\) et \(b=\frac{-2+3}{-2-1}=-\frac{1}{3}\). La réponse \(b=\frac{1}{3}\) oublie le signe de \(-2-1\). Les valeurs \(4\) et \(1\) n’évaluent que le numérateur. Enfin, échanger \(a\) et \(b\) attribue chaque coefficient au mauvais pôle. On contrôle avec \(X\to+\infty\) : \(a+b=1\).

Réponse B.

Un pôle double apporte deux termes, de dénominateurs \(X-1\) et \((X-1)^2\), avec des constantes au numérateur. Oublier \(\frac{a}{X-1}\) est l’erreur la plus fréquente. Le numérateur \(aX+b\) est réservé aux facteurs irréductibles de degré \(2\) sur \(\mathbb{R}\) ; or sur \(\mathbb{C}\), tout se factorise en degré \(1\). Enfin, la fraction est de degré \(-3\), donc sa partie entière est nulle : la constante \(d\) n’a pas lieu d’être.

Réponse D.

Le coefficient du pôle \(0\) s’obtient en évaluant \(\frac{1}{X^2+1}\) en \(0\) : il vaut \(1\). Ensuite, on réduit au même dénominateur pour vérifier : \(\frac{1}{X}-\frac{X}{X^2+1}=\frac{X^2+1-X^2}{X(X^2+1)}\). La version avec \(\frac{1}{X^2+1}\) oublie que le numérateur d’un facteur de degré \(2\) est de degré \(1\). De plus, la version avec un signe plus donnerait \(\frac{2X^2+1}{X(X^2+1)}\).

Réponse C.

La fraction est paire, donc \(F(-X)=F(X)\). Or \(\frac{a}{-X-1}=-\frac{a}{X+1}\), tandis que \(\frac{b}{(-X-1)^2}=\frac{b}{(X+1)^2}\). Par unicité de la décomposition, on identifie : \(c=-a\) et \(d=b\). Écrire \(c=a\) oublie le signe produit par un exposant impair. À l’inverse, \(d=-b\) ajoute un signe qu’un carré fait disparaître. Ainsi, deux inconnues suffisent ensuite.

Réponse A.

Les racines de \(X^n-1\) sont simples, donc le coefficient d’un pôle \(\omega\) vaut \(\frac{1}{Q^{\prime}(\omega)}\) avec \(Q=X^n-1\). On obtient \(\frac{1}{n\omega^{n-1}}\), puis, comme \(\omega^n=1\), on a \(\omega^{n-1}=\frac{1}{\omega}\), d’où \(\frac{\omega}{n}\). La réponse \(\frac{1}{n\omega}\) remplace \(\omega^{n-1}\) par \(\omega\). Quant à \(\frac{1}{n}\), elle ne vaut que pour le pôle \(1\).

Réponse A.

La dérivée logarithmique transforme le produit en somme : chaque facteur \((X-x_k)^{m_k}\) donne \(\frac{m_k}{X-x_k}\). Ainsi, tous les pôles de \(\frac{P^{\prime}}{P}\) sont simples, et le coefficient est la multiplicité. Oublier les \(m_k\) ne convient que pour un polynôme à racines simples. Les puissances \(m_k\) au dénominateur confondent avec la forme générale. Enfin, la constante \(\lambda\) disparaît dans le quotient.

Réponse D.

Les racines sont simples ici, donc \(\frac{P^{\prime}}{P}=\sum\frac{1}{X-x_k}\), et la somme cherchée vaut \(\frac{P^{\prime}(2)}{P(2)}\). Or \(P(2)=8-4+5=9\) et \(P^{\prime}(2)=3\times 4-2=10\). La valeur \(-\frac{10}{9}\) calcule \(\sum\frac{1}{x_k-2}\), avec le signe inversé. Le quotient renversé donne \(\frac{9}{10}\). Enfin, \(\frac{4}{3}\) oublie le terme \(-2\) dans \(P^{\prime}\).