Décomposition en éléments simples en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Euclide sur deux polynômes de degrés 4 et 3

Soient \(A=X^4+3X^3-X^2-X+6\) et \(B=X^3+4X^2+2X-3\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

1. Effectuer les divisions successives de l’algorithme d’Euclide en partant du couple \((A,B)\).
2. En déduire \(A\wedge B\).
3. Déterminer les racines complexes communes à \(A\) et \(B\), et vérifier le résultat par évaluation.

Exercice 2 – Forme irréductible, zéros et pôles

Soit \(F=\dfrac{X^3-3X+2}{X^4-X^2}\).

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur, puis écrire \(F\) sous forme irréductible.
2. Donner le degré de \(F\), ses zéros et ses pôles avec leurs multiplicités.
3. Décomposer \(F\) en éléments simples.

La courbe de la fonction associée aide à repérer les pôles et les zéros.

Exercice 3 – Partie entière d’une fraction

Soit \(F=\dfrac{2X^4-X^3+5}{X^2-X+1}\).

1. Justifier que \(X^2-X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\).
2. Déterminer la partie entière de \(F\) et le degré de \(F\).
3. Montrer que l’écriture de \(F\) est irréductible, puis donner sa décomposition en éléments simples sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 4 – Trois pôles simples par évaluation

Décomposer en éléments simples sur \(\mathbb{R}\) la fraction \(F=\dfrac{X^2+5}{X(X-2)(X+3)}\), en calculant chaque coefficient par une seule évaluation. Contrôler ensuite le résultat à l’aide de la limite de \(xF(x)\) en \(+\infty\).

Exercice 5 – Un pôle double et un pôle simple

Soit \(F=\dfrac{3X+1}{(X+1)^2(X-3)}\).

1. Écrire la forme de la décomposition de \(F\) en éléments simples.
2. Calculer les coefficients, en utilisant une évaluation et une limite à l’infini.
3. Vérifier le résultat en évaluant les deux membres en \(0\).

Exercice 6 – Deux polynômes premiers entre eux

Soient \(A=X^2+X+1\) et \(B=X^3+2\).

1. Effectuer la division euclidienne de \(B\) par \(A\).
2. En déduire une relation \(AU+BV=1\), puis que \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux.
3. Retrouver ce résultat à l’aide des racines complexes de \(A\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Relation de Bézout avec contraintes de degré

Soient \(A=X^3+X^2+2\) et \(B=X^2-X+1\).

1. Appliquer l’algorithme d’Euclide à \((A,B)\) et montrer que \(A\wedge B=1\).
2. Remonter les calculs pour obtenir \(U_0\) et \(V_0\) tels que \(AU_0+BV_0=1\), avec \(\deg U_0<2\) et \(\deg V_0<3\).
3. Déterminer tous les couples \((U,V)\) de polynômes tels que \(AU+BV=1\).

Exercice 8 – Interpolation en 0 et en 2 par Bézout

On cherche les polynômes \(P\in\mathbb{R}[X]\) tels que \(X^2\) divise \(P-1\) et \((X-2)^2\) divise \(P+3\).

1. Vérifier que \(\dfrac{3-X}{4}\,X^2+\dfrac{X+1}{4}\,(X-2)^2=1\).
2. En déduire un polynôme \(P_0\) de degré au plus \(3\) qui convient.
3. À l’aide du lemme de Gauss, déterminer tous les polynômes \(P\) qui conviennent.
4. Interpréter graphiquement les deux conditions sur la courbe de \(P_0\).

Exercice 9 – Un trinôme irréductible sur R

Soit \(F=\dfrac{X+3}{(X-1)(X^2+2X+5)}\).

1. Écrire la forme de la décomposition de \(F\) en éléments simples sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer le coefficient relatif au pôle \(1\).
3. Obtenir les deux coefficients restants en évaluant en une racine complexe du trinôme.
4. En déduire une primitive de \(x\mapsto F(x)\) sur \(]1,+\infty[\).

Exercice 10 – Parité et pôles doubles

Soit \(F=\dfrac{2X^2+1}{(X^2-4)^2}\).

1. Écrire la forme de la décomposition, avec quatre coefficients \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\).
2. Utiliser la parité de \(F\) pour exprimer \(\gamma\) et \(\delta\) en fonction de \(\alpha\) et \(\beta\).
3. Calculer \(\beta\) par évaluation, puis \(\alpha\) par une évaluation en \(0\).
4. Déterminer une primitive de \(x\mapsto F(x)\) sur \(]2,+\infty[\).

Exercice 11 – Pôles en les racines cubiques de -8

Soit \(F=\dfrac{X}{X^3+8}\).

1. Déterminer les pôles de \(F\) et les placer dans le plan complexe.
2. Montrer que le coefficient relatif à un pôle \(a\) vaut \(-\dfrac{a^2}{24}\), puis décomposer \(F\) sur \(\mathbb{C}\).
3. En regroupant les pôles conjugués, en déduire la décomposition de \(F\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 12 – Sommes sur les racines par P’/P

1. Décomposer \(P^{\prime}/P\) en éléments simples pour \(P=(X-1)^2(X+2)^3\).
2. On note \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\) les racines complexes, comptées avec multiplicité, de \(Q=X^4-2X+5\). Calculer \(\displaystyle\sum_{i=1}^{4}\frac{1}{2-x_i}\) et \(\displaystyle\sum_{i=1}^{4}\frac{1}{x_i}\).
3. Calculer \(\displaystyle\sum_{i=1}^{4}\frac{1}{(1-x_i)^2}\). Que peut-on en déduire sur les racines de \(Q\) ?

Exercice 13 – Pôle triple par changement de variable

Soit \(F=\dfrac{1}{(X-1)^3(X+1)}\).

1. Calculer le coefficient relatif au pôle \(-1\).
2. En posant \(X=1+h\), écrire la division de \(1\) par \(2+h\) suivant les puissances croissantes de \(h\) à l’ordre \(2\).
3. En déduire la décomposition complète de \(F\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 14 – Somme d’une série par éléments simples

Pour \(n\geqslant 1\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+3)}\).

1. Décomposer \(\dfrac{1}{X(X+1)(X+3)}\) en éléments simples.
2. Exprimer \(S_n\) à l’aide des sommes \(H_m=\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{j}\), puis simplifier.
3. En déduire que \((S_n)\) converge et calculer sa limite.

Exercice 15 – Intégrale d’une fraction rationnelle

Calculer \(I=\displaystyle\int_0^1\frac{x^2+3}{(x+1)(x^2+1)}\,\mathrm{d}x\) en décomposant d’abord la fraction en éléments simples sur \(\mathbb{R}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – PGCD de deux binômes

Pour tout entier \(p\geqslant 0\), on note \(B_p=X^p-1\). On remarque que \(B_0=0\).

1. Soient \(m\geqslant n\geqslant 1\). Montrer que \(B_m=X^{m-n}B_n+B_{m-n}\).
2. En déduire que \(B_m\wedge B_n=B_{m-n}\wedge B_n\).
3. Montrer, par récurrence forte sur \(m+n\), que \(B_m\wedge B_n=B_{m\wedge n}\) pour tous \(m,n\geqslant 1\).
4. Calculer \((X^{12}-1)\wedge(X^{18}-1)\) et \((X^{10}-1)\wedge(X^{21}-1)\).

Exercice 17 – Pôles entiers consécutifs et sommes alternées

Soit \(n\geqslant 1\) et \(F_n=\dfrac{1}{X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)}\).

1. Montrer que \(F_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{\lambda_k}{X-k}\) avec \(\lambda_k=\dfrac{(-1)^{n-k}}{k!\,(n-k)!}\).
2. Soit \(m\) un entier tel que \(0\leqslant m\leqslant n\). Montrer que \(X^mF_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{k^m\lambda_k}{X-k}\), avec la convention \(0^0=1\).
3. En multipliant par \(X\) et en passant à la limite, en déduire la valeur de \(\sum_{k=0}^{n}k^m\lambda_k\).
4. Conclure que \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^m\) vaut \(0\) si \(m<n\) et \(n!\) si \(m=n\). Vérifier pour \(n=2\).

Exercice 18 – Racines entrelacées de P et de P’

Soit \(P\in\mathbb{R}[X]\) de degré \(n\geqslant 2\), scindé sur \(\mathbb{R}\) à racines simples \(x_1<x_2<\dots<x_n\).

1. Montrer que la fonction \(g:x\mapsto P^{\prime}(x)/P(x)\) est strictement décroissante sur chaque intervalle \(]x_k,x_{k+1}[\), et préciser ses limites aux bornes.
2. En déduire que \(P^{\prime}\) a exactement une racine dans chaque intervalle \(]x_k,x_{k+1}[\), et qu’il n’en a pas d’autre.
3. Montrer que \(P^{\prime}(x)^2-P(x)P^{\prime\prime}(x)>0\) pour tout réel \(x\).
4. On prend \(P=X^3-3X+1\). Vérifier que \(P\) a trois racines réelles, puis retrouver directement l’inégalité de la question 3.

Exercice 19 – Problème : racines de l’unité et cotangentes

Soit \(n\geqslant 2\). On pose \(\theta_k=\dfrac{2k\pi}{n}\) et \(\omega_k=e^{i\theta_k}\) pour \(0\leqslant k\leqslant n-1\).

1. Décomposer \(\dfrac{nX^{n-1}}{X^n-1}\) en éléments simples sur \(\mathbb{C}\).
2. Soit \(x\) réel tel que \(x^n\neq 1\). Montrer que \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x-\cos\theta_k}{x^2-2x\cos\theta_k+1}=\frac{nx^{n-1}}{x^n-1}\).
3. On pose \(Q=1+X+\dots+X^{n-1}\). Montrer que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-\omega_k}=\frac{n-1}{2}\).
4. Pour \(\theta\in\,]0,2\pi[\), établir que \(\dfrac{1}{1-e^{i\theta}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{i}{2}\cot\dfrac{\theta}{2}\).
5. En déduire que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\cot\frac{k\pi}{n}=0\), puis retrouver ce résultat par symétrie.
6. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1-\omega_k)^2}\) à l’aide de \(\left(Q^{\prime}/Q\right)^{\prime}\). En déduire que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}{n}=\frac{(n-1)(n-2)}{3}\).

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