Projecteurs, symétries et hyperplans : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : projecteurs, symétries et hyperplans

Le sujet du contrôle : projecteurs, symétries et hyperplans

Exercice 1 – Un projecteur de l’espace (4 points)

Dans \(\mathbb{R}^3\), on note \(P\) le plan d’équation \(x – y + 2z = 0\) et \(D\) la droite dirigée par \(d = (0, 1, 1)\). On considère l’application linéaire \(p\) définie par

\[p(x, y, z) = \left(x,\; -x + 2y – 2z,\; -x + y – z\right).\]

La figure représente le plan \(P\), la droite \(D\) et le vecteur \(v = (2, 1, 0)\). Elle n’est pas à l’échelle.

1. Écrire la matrice \(A\) de \(p\) dans la base canonique, puis vérifier que \(A^2 = A\). (1 point)
2. Montrer ensuite que \(\mathrm{Ker}\,p = D\) et que \(\mathrm{Im}\,p = P\). Que représente alors \(p\) ? (1,5 point)
3. On pose \(s = 2p – \mathrm{id}\). Donner l’expression de \(s(x, y, z)\), vérifier que \(s \circ s = \mathrm{id}\), puis calculer \(p(v)\) et \(s(v)\). (1,5 point)

Exercice 2 – Interpolation affine dans R2[X] (4 points)

Sur \(E = \mathbb{R}_2[X]\), on définit \(\pi(P) = P(0) + \left(P(1) – P(0)\right)X\). Ainsi, \(\pi(P)\) est le polynôme de degré au plus 1 qui prend les mêmes valeurs que \(P\) en 0 et en 1. La figure l’illustre avec \(P_0 = 2X^2 – X + 1\).

1. Montrer que \(\pi\) est un endomorphisme de \(E\), puis que \(\pi \circ \pi = \pi\). (1,5 point)
2. Déterminer \(\mathrm{Ker}\,\pi\) et \(\mathrm{Im}\,\pi\). En déduire alors que \(\mathbb{R}_2[X] = \mathbb{R}_1[X] \oplus \mathrm{Vect}\left(X^2 – X\right)\). (1,5 point)
3. Soit \(\sigma = 2\pi – \mathrm{id}_E\), symétrie associée à \(\pi\). Calculer \(\pi(P_0)\) et \(\sigma(P_0)\). (1 point)

Exercice 3 – Équations d’hyperplans (4 points)

Les questions 1 et 2 se placent dans \(\mathbb{R}^4\), la question 3 dans \(\mathbb{R}_2[X]\).

1. Soit \(H = \mathrm{Vect}(h_1, h_2, h_3)\), avec \(h_1 = (1, 1, 0, 0)\), \(h_2 = (0, 1, 1, 0)\) et \(h_3 = (0, 0, 1, 1)\). Montrer que \(H\) est un hyperplan de \(\mathbb{R}^4\), puis en donner une équation. (1,5 point)
2. Prouver que la droite \(\mathrm{Vect}(e_1)\), où \(e_1 = (1, 0, 0, 0)\), est un supplémentaire de \(H\). Décomposer ensuite \(w = (1, 2, 3, 4)\) selon \(H \oplus \mathrm{Vect}(e_1)\). (1 point)
3. On note \(K = \left\{Q \in \mathbb{R}_2[X] : Q(2) = Q^{\prime}(1)\right\}\). Montrer que \(K\) est le noyau d’une forme linéaire non nulle, donc un hyperplan de \(\mathbb{R}_2[X]\), puis en donner une base. (1,5 point)

Exercice 4 – Une droite affine de solutions (3 points)

On considère l’application linéaire \(u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(u(x, y, z) = (x + 2y – z,\; x – y + 2z)\).

1. Déterminer le noyau de \(u\) et en donner une base. (1 point)
2. En déduire, grâce au théorème du rang, que \(u\) est surjective. (1 point)
3. Résoudre enfin l’équation \(u(x, y, z) = (4, 1)\), puis décrire géométriquement l’ensemble de ses solutions. (1 point)

Exercice 5 – Problème : projecteurs qui commutent (5 points)

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, et soit \(p\) et \(q\) deux projecteurs de \(E\) tels que \(p \circ q = q \circ p\). On pose \(r = p \circ q\).

1. Partie A. Montrer que \(r\) est un projecteur. (1 point)
2. Partie B. Établir que \(\mathrm{Im}\,r = \mathrm{Im}\,p \cap \mathrm{Im}\,q\), en prouvant les deux inclusions. (1,5 point)
3. Partie C. Démontrer de même que \(\mathrm{Ker}\,r = \mathrm{Ker}\,p + \mathrm{Ker}\,q\). On pourra écrire \(x = \left(x – q(x)\right) + q(x)\). (1,5 point)
4. Partie D. Dans \(\mathbb{R}^3\), on prend \(p(x, y, z) = (x, y, 0)\) et \(q(x, y, z) = (0, y, z)\). Vérifier que ces projecteurs commutent, préciser \(r\), puis contrôler sur cet exemple les résultats des parties B et C. (1 point)

Réviser projecteurs, symétries et hyperplans avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours projecteurs, symétries, hyperplans et sous-espaces affines ; entraînez-vous sur les exercices projecteurs, symétries, hyperplans et sous-espaces affines avant de retenter le sujet.

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