EDL du premier et du second ordre en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Solutions de trois équations homogènes

Résoudre les équations suivantes sur l’intervalle indiqué.

1. \(y^{\prime} + 3x^2\,y = 0\) sur \(\mathbb{R}\).
2. \((1+x^2)\,y^{\prime} – x\,y = 0\) sur \(\mathbb{R}\).
3. \(x\ln(x)\,y^{\prime} – y = 0\) sur \(]1,+\infty[\).

Exercice 2 – Second membre polynomial ou exponentiel

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les deux équations suivantes, en cherchant une solution particulière de forme adaptée.

1. \(y^{\prime} + 2y = x^2 – 1\).
2. \(y^{\prime} – 4y = 3\,e^{4x}\).

Exercice 3 – Quatre équations caractéristiques

Déterminer les solutions réelles sur \(\mathbb{R}\) des équations homogènes suivantes.

1. \(y^{\prime\prime} – 7y^{\prime} + 10y = 0\).
2. \(y^{\prime\prime} + 6y^{\prime} + 9y = 0\).
3. \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 10y = 0\).
4. \(4y^{\prime\prime} + y = 0\).

Exercice 4 – Un premier problème de Cauchy

On considère l’équation \(y^{\prime} + \frac{1}{2}\,y = e^{x/2}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Trouver une solution particulière de la forme \(c\,e^{x/2}\).
2. En déduire la solution générale.
3. Déterminer l’unique solution vérifiant \(y(0) = 3\), puis sa limite en \(-\infty\).

Exercice 5 – Polynôme au second membre d’une équation d’ordre deux

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(y^{\prime\prime} + y^{\prime} – 2y = 4x^2\).

Exercice 6 – Superposition avec un cosinus

On considère l’équation \(y^{\prime} + y = 2 + 5\cos(2x)\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Trouver une solution constante de \(y^{\prime} + y = 2\).
2. Trouver une solution de \(y^{\prime} + y = 5\cos(2x)\) en passant par l’équation \(z^{\prime} + z = 5\,e^{2ix}\).
3. En déduire toutes les solutions de l’équation de départ.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Variation de la constante avec un cosinus

On s’intéresse à \(x\,y^{\prime} – 2y = x^3\cos x\) sur la demi-droite \(]0,+\infty[\).

1. Normaliser l’équation, puis donner ses solutions homogènes.
2. Faire varier la constante pour obtenir toutes les solutions.
3. Contrôler le résultat en le reportant dans l’équation initiale.

Exercice 8 – Arctangente et condition initiale

On considère l’équation \((1+x^2)\,y^{\prime} + y = e^{-\arctan x}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Résoudre l’équation homogène associée.
2. Résoudre l’équation complète par variation de la constante.
3. Déterminer la solution telle que \(y(0) = 2\).
4. Calculer la limite de cette solution en \(+\infty\).

Exercice 9 – Racine double et second membre polynôme-exponentielle

On considère l’équation \(y^{\prime\prime} – 4y^{\prime} + 4y = 6x\,e^{2x}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Soit \(y\) deux fois dérivable et \(z\) définie par \(z(x) = y(x)\,e^{-2x}\). Établir une relation simple entre \(y^{\prime\prime} – 4y^{\prime} + 4y\) et \(z^{\prime\prime}\).
2. En déduire toutes les solutions de l’équation.
3. Retrouver la forme de la solution particulière à l’aide du tableau du cours.

Exercice 10 – Second membre sinus sans résonance

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 5y = 10\sin x\). Donner les solutions sous forme réelle.

Exercice 11 – Exponentielle fois cosinus en résonance

On considère l’équation \(y^{\prime\prime} – 2y^{\prime} + 5y = e^{x}\cos(2x)\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Résoudre l’équation homogène associée.
2. Expliquer pourquoi une solution de la forme \(e^{x}\big(A\cos(2x) + B\sin(2x)\big)\) ne peut pas convenir.
3. Trouver une solution particulière en passant par l’exponentielle complexe \(e^{(1+2i)x}\).
4. Écrire la solution générale réelle.

Exercice 12 – Problème de Cauchy avec une racine simple

Déterminer l’unique solution sur \(\mathbb{R}\) de \(y^{\prime\prime} + y^{\prime} – 6y = 5\,e^{2x}\) vérifiant \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 0\). Étudier le signe de cette solution sur \(]0,+\infty[\).

La figure suivante rappelle l’allure des deux exponentielles qui forment les solutions homogènes.

Exercice 13 – Cosinus hyperbolique au second membre

On considère l’équation \(y^{\prime\prime} – y = \operatorname{ch}(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Écrire \(\operatorname{ch}(x)\) comme combinaison de deux exponentielles.
2. À l’aide du principe de superposition, trouver une solution particulière.
3. Déterminer la solution vérifiant \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 0\). Montrer qu’elle est paire.

Exercice 14 – Une unique solution périodique

On considère l’équation \(y^{\prime} + 2y = \cos^2(x)\) sur \(\mathbb{R}\). La figure montre le second membre, qui est \(\pi\)-périodique.

1. Linéariser \(\cos^2(x)\).
2. Déterminer une solution particulière de la forme \(\alpha + \beta\cos(2x) + \gamma\sin(2x)\).
3. Montrer que l’équation possède une et une seule solution \(\pi\)-périodique.
4. Montrer que toute solution \(y\) vérifie \(y(x) – y_p(x) \to 0\) quand \(x \to +\infty\), où \(y_p\) est la solution périodique.

Exercice 15 – Pulsation du second membre et solutions bornées

Soit \(\omega > 0\). On considère l’équation \(y^{\prime\prime} + 4y = \cos(\omega x)\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Pour \(\omega \neq 2\), trouver une solution particulière de la forme \(c\cos(\omega x)\).
2. Pour \(\omega = 2\), trouver une solution particulière.
3. Déterminer les valeurs de \(\omega\) pour lesquelles toutes les solutions sont bornées sur \(\mathbb{R}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Raccordement en zéro

On considère l’équation \((E)\ : x\,y^{\prime} – 2y = x^3\), dont le coefficient de \(y^{\prime}\) s’annule en \(0\).

1. Résoudre \((E)\) sur \(]0,+\infty[\), puis sur \(]-\infty,0[\).
2. Déterminer toutes les fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) qui vérifient \((E)\) en tout point de \(\mathbb{R}\).
3. Combien existe-t-il de solutions sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(y(0) = 0\) ? Et vérifiant \(y(0) = 1\) ? Comparer avec le théorème de Cauchy.

Exercice 17 – Équation d’Euler par changement de variable

On cherche les fonctions \(y\) deux fois dérivables sur \(]0,+\infty[\) telles que \(x^2\,y^{\prime\prime} – 3x\,y^{\prime} + 4y = 2x^2\).

1. À une telle fonction \(y\), on associe \(z : t \mapsto y(e^t)\), définie sur \(\mathbb{R}\). Calculer les deux premières dérivées de \(z\) en fonction de \(y^{\prime}(e^t)\) et \(y^{\prime\prime}(e^t)\).
2. Établir l’équivalence entre l’équation vérifiée par \(y\) et la relation \(z^{\prime\prime} – 4z^{\prime} + 4z = 2\,e^{2t}\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Résoudre cette équation, puis en déduire toutes les fonctions \(y\) cherchées.

Exercice 18 – Problème – Oscillateur amorti soumis à un forçage

Un oscillateur est décrit par l’équation \((E)\ : y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 2y = 10\cos(2x)\), où \(x \geq 0\) joue le rôle du temps.

1. Résoudre l’équation homogène associée. Montrer que toutes ses solutions tendent vers \(0\) en \(+\infty\).
2. Déterminer une solution particulière \(y_p\) de la forme \(A\cos(2x) + B\sin(2x)\).
3. Écrire \(y_p\) sous la forme \(R\cos(2x – \varphi)\), avec \(R > 0\), en précisant \(R\) et \(\cos\varphi\), \(\sin\varphi\).
4. Déterminer la solution \(y\) de \((E)\) telle que \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 0\).
5. Montrer que \(y(x) – y_p(x) \to 0\) quand \(x \to +\infty\). Interpréter : régime transitoire et régime permanent.
6. On remplace le second membre par \(10\cos(\omega x)\), avec \(\omega > 0\). Montrer que l’amplitude de la solution particulière sinusoïdale vaut \(\frac{10}{\sqrt{\omega^4 + 4}}\), puis étudier sa monotonie en \(\omega\).

Pour aller plus loin

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