Lois internes, groupes et anneaux en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une loi sur R et son élément absorbant

On définit sur \(\mathbb{R}\) la loi \(x \top y=x+y-4xy\).

1. Montrer que \(\top\) est commutative et associative.
2. Déterminer ensuite son élément neutre.
3. Montrer que \(\frac{1}{4} \top y=\frac{1}{4}\) pour tout réel \(y\). En déduire que \(\frac{1}{4}\) n’est pas inversible.
4. Enfin, déterminer les éléments inversibles et leur inverse. L’ensemble \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{1}{4}\}\) est-il stable par \(\top\) ?

Exercice 2 – Stable ou pas stable

Pour chaque partie et chaque loi, dire si la partie est stable, en justifiant par une preuve ou par un contre-exemple.

1. \(D=\{z \in \mathbb{C} : |z| \leqslant 1\}\), pour le produit, puis pour la somme.
2. L’ensemble des entiers impairs, pour la somme, puis pour le produit.
3. \(P=\{2^k : k \in \mathbb{N}\}\), pour le produit, puis pour la somme.
4. L’ensemble des fonctions croissantes de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), pour la composition, la somme, puis le produit.

Exercice 3 – Calculs dans le groupe produit (R*, ×) × (Z, +)

On munit \(G=\mathbb{R}^* \times \mathbb{Z}\) de la loi produit \((x,m)\cdot(y,n)=(xy,\,m+n)\).

1. Donner le neutre de \(G\), puis l’inverse de \((-3,5)\).
2. Ensuite, calculer \((2,1)^5\) et \((2,1)^{-3}\).
3. Puis résoudre dans \(G\) l’équation \((x,m)\cdot(4,-2)=(-1,7)\).
4. Enfin, déterminer les éléments \(g\) de \(G\) tels que \(g\cdot g\) soit le neutre.

Exercice 4 – Sous-groupes de C* : oui ou non

Dire si chacune des parties suivantes est un sous-groupe de \((\mathbb{C}^*,\times)\). La figure rappelle la position des éléments de \(\mathbb{U}_4\) et de \(\mathbb{U}_6\).

1. \(\mathbb{R}_-^*\), l’ensemble des réels strictement négatifs.
2. \(C=\{z \in \mathbb{C}^* : |z|=1 \text{ ou } |z|=2\}\).
3. \(H=\{z \in \mathbb{C}^* : z^{10} \in \mathbb{R}\}\).
4. \(Q=\{e^{i\pi q} : q \in \mathbb{Q}\}\).
5. \(\mathbb{U}_4 \cup \mathbb{U}_6\).

Exercice 5 – Calculs dans S4

On considère les permutations \(\sigma\) et \(\tau\) de \(\{1,2,3,4\}\) représentées ci-dessous : \(\sigma\) envoie 1, 2, 3, 4 sur 2, 4, 1, 3, et \(\tau\) envoie 1, 2, 3, 4 sur 1, 3, 4, 2.

1. Calculer \(\sigma\circ\tau\) et \(\tau\circ\sigma\). Ces permutations commutent-elles ?
2. Déterminer ensuite \(\sigma^{-1}\).
3. Calculer \(\sigma^2\), \(\sigma^3\) et \(\sigma^4\). Quel est le plus petit entier \(k \geqslant 1\) tel que \(\sigma^k=\mathrm{id}\) ?
4. De même, trouver le plus petit \(k \geqslant 1\) tel que \(\tau^k=\mathrm{id}\), puis en déduire \(\tau^{100}\).

Exercice 6 – L’anneau produit Z × Z

On munit \(A=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) des lois \((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\) et \((a,b)\times(c,d)=(ac,bd)\). On admet que \(A\) est un anneau commutatif.

1. Donner d’abord les neutres des deux lois.
2. Déterminer ensuite le groupe \(A^\times\) des inversibles. Combien a-t-il d’éléments ?
3. Montrer alors que \(A\) n’est pas intègre.
4. Enfin, trouver tous les éléments \(e\) de \(A\) tels que \(e^2=e\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une loi cubique sur R

Pour \(x,y\) réels, on pose \(x \ast y=\sqrt[3]{x^3+y^3}\), où \(\sqrt[3]{t}\) désigne l’unique réel dont le cube vaut \(t\).

1. Montrer que \(\varphi : x \mapsto x^3\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\), et que \(\varphi(x \ast y)=\varphi(x)+\varphi(y)\).
2. En déduire que \((\mathbb{R},\ast)\) est un groupe abélien isomorphe à \((\mathbb{R},+)\).
3. Préciser enfin le neutre et l’inverse de 2 pour \(\ast\). Calculer \(1 \ast 2\) puis \(1 \ast 1 \ast 1\ast 1 \ast 1 \ast 1 \ast 1 \ast 1\).

Exercice 8 – Réunion de deux sous-groupes

Soient \(H\) et \(K\) deux sous-groupes d’un groupe \((G,\cdot)\).

1. Montrer que \(H\cap K\) est un sous-groupe de \(G\).
2. Montrer ensuite que \(H \cup K\) est un sous-groupe de \(G\) si et seulement si \(H \subset K\) ou \(K \subset H\).
3. Application : \(\mathbb{U}_4 \cup \mathbb{U}_6\) est-il un sous-groupe de \(\mathbb{C}^*\) ? Et \(\mathbb{U}_3 \cup \mathbb{U}_6\) ?

Exercice 9 – Sous-groupes 12Z et 18Z de Z

1. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \(n\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\).
2. Soit \(H\) un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\) non réduit à \(\{0\}\). Justifier que \(H\) contient un plus petit élément strictement positif \(n\). Montrer ensuite que \(H=n\mathbb{Z}\), à l’aide de la division euclidienne.
3. Montrer que \(12\mathbb{Z}\cap 18\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\), puis l’écrire sous la forme \(n\mathbb{Z}\).
4. De même, on pose \(S=\{12u+18v : u,v \in \mathbb{Z}\}\). Montrer que \(S\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\) et que \(S=6\mathbb{Z}\).

Exercice 10 – Noyaux et images de trois morphismes

Pour chacune des applications suivantes, montrer que c’est un morphisme de groupes, puis déterminer son noyau et son image.

1. \(f : (\mathbb{Z},+) \to (\mathbb{C}^*,\times)\), \(k \mapsto e^{2ik\pi/9}\).
2. \(g : (\mathbb{C}^*,\times) \to (\mathbb{R}_+^*,\times)\), \(z \mapsto |z|^2\).
3. \(h : (\mathbb{C}^*,\times) \to (\mathbb{C}^*,\times)\), \(z \mapsto z/\bar{z}\).
4. Lesquels de ces morphismes sont injectifs ? Lesquels sont surjectifs ?

Exercice 11 – U4 et U2 × U2 ne sont pas isomorphes

1. Dresser la liste des éléments \(x\) de \(\mathbb{U}_4\) tels que \(x^2=1\), puis celle des éléments \(g\) de \(\mathbb{U}_2\times\mathbb{U}_2\) tels que \(g^2\) soit le neutre.
2. Montrer ensuite qu’un isomorphisme de groupes \(\varphi\) vérifie : \(x^2=e\) si et seulement si \(\varphi(x)^2=e^{\prime}\).
3. En déduire que \(\mathbb{U}_4\) et \(\mathbb{U}_2\times\mathbb{U}_2\) ne sont pas isomorphes, bien qu’ils aient le même cardinal.
4. Dans \(\mathcal{S}_4\), on note \(s\) la transposition qui échange 1 et 2, et \(t\) celle qui échange 3 et 4. Montrer que \(V=\{\mathrm{id},s,t,s\circ t\}\) est un sous-groupe de \(\mathcal{S}_4\) isomorphe à \(\mathbb{U}_2\times\mathbb{U}_2\).

Exercice 12 – Éléments nilpotents et inversibilité de 1 − a

Dans un anneau \(A\), on qualifie de nilpotent tout élément \(a\) dont une puissance \(a^p\), avec \(p \geqslant 1\), est nulle.

1. On fixe un tel \(a\) et un entier \(p\) avec \(a^p=0\). Montrer que \(1-a\) est inversible et donner son inverse.
2. Application : dans l’anneau des matrices carrées de taille 2, on pose \(a=\begin{pmatrix}0 & 3\\ 0 & 0\end{pmatrix}\). Calculer \(a^2\), puis l’inverse de \(I-a\).
3. Soient \(a\) et \(b\) nilpotents qui commutent, avec \(a^p=0\) et \(b^q=0\). Montrer que \(a+b\) est nilpotent.
4. Montrer que l’hypothèse de commutation est indispensable, avec \(a=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) et \(b=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}\).

Exercice 13 – Calculs dans un anneau non commutatif

Soit \(A\) un anneau, a priori non commutatif, et soient \(a,b \in A\).

1. Développer \((a+b)^3\). Combien de termes obtient-on ?
2. Avec les matrices \(a=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) et \(b=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), calculer \(ab\) et \(ba\). Que peut-on en conclure ?
3. On suppose que \(1-ab\) est inversible, d’inverse \(c\). Montrer que \(1-ba\) est inversible, d’inverse \(1+bca\).

Exercice 14 – Inversibles de Z[√3]

On note \(A=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]=\{a+b\sqrt{3} : a,b \in \mathbb{Z}\}\). On admet que \(\sqrt{3}\) est irrationnel.

1. Montrer que \(A\) est un sous-anneau de \(\mathbb{R}\) et que l’écriture \(a+b\sqrt{3}\) est unique.
2. Pour \(x=a+b\sqrt{3}\), on pose \(\bar{x}=a-b\sqrt{3}\) et \(N(x)=x\bar{x}=a^2-3b^2\). Montrer que \(\overline{xy}=\bar{x}\,\bar{y}\), puis que \(N(xy)=N(x)N(y)\).
3. Montrer que \(x\) est inversible dans \(A\) si et seulement si \(N(x)=\pm 1\).
4. Montrer que \(N(x)=-1\) est impossible, en raisonnant sur les restes modulo 3.
5. Vérifier que \(2+\sqrt{3}\) est inversible. Calculer \((2+\sqrt{3})^3\) et en déduire que \(A^\times\) est infini.

Exercice 15 – Le corps Q[√3]

On note \(K=\mathbb{Q}[\sqrt{3}]=\{a+b\sqrt{3} : a,b \in \mathbb{Q}\}\).

1. Montrer que \(K\) est un sous-corps de \(\mathbb{R}\).
2. Calculer ensuite l’inverse de \(5-2\sqrt{3}\) sous la forme \(a+b\sqrt{3}\).
3. Montrer par ailleurs que \(\sqrt{2} \notin K\).
4. Soit \(f : K \to K\) un morphisme d’anneaux. Montrer que \(f(q)=q\) pour tout \(q \in \mathbb{Q}\), puis que \(f(\sqrt{3})=\pm\sqrt{3}\). En déduire tous les morphismes d’anneaux de \(K\) dans \(K\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Morphismes partant de Z ou de Q

1. Soit \((G,\cdot)\) un groupe et \(a \in G\). Montrer que \(k \mapsto a^k\) est l’unique morphisme de \((\mathbb{Z},+)\) dans \(G\) qui envoie 1 sur \(a\).
2. Soit \(f\) un morphisme de \((\mathbb{Q},+)\) dans \((\mathbb{Q},+)\). Montrer que \(f(x)=f(1)\,x\) pour tout rationnel \(x\).
3. Montrer que \((\mathbb{Z},+)\) et \((\mathbb{Q},+)\) ne sont pas isomorphes.
4. Montrer que \((\mathbb{Q},+)\) et \((\mathbb{Q}_+^*,\times)\) ne sont pas isomorphes. On pourra considérer l’antécédent de 2.

Exercice 17 – Anneaux de Boole et différence symétrique

Un anneau \(A\) est dit de Boole si \(x^2=x\) pour tout \(x \in A\).

1. Soit \(A\) un anneau de Boole. En développant \((x+x)^2\), montrer que \(x+x=0\) pour tout \(x\). En développant \((x+y)^2\), montrer ensuite que \(A\) est commutatif.
2. Montrer qu’un anneau de Boole intègre a exactement deux éléments.
3. Soit \(E\) un ensemble. Pour \(A,B \subset E\), on pose \(A\,\Delta\,B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)\). On note \(\mathbf{1}_A\) l’indicatrice de \(A\). Établir \(\mathbf{1}_{A\cap B}=\mathbf{1}_A\mathbf{1}_B\) et \(\mathbf{1}_{A\Delta B}=\mathbf{1}_A+\mathbf{1}_B-2\,\mathbf{1}_A\mathbf{1}_B\).
4. En déduire que \(\Delta\) est associative et que \(\cap\) est distributive sur \(\Delta\). On admet alors que \((\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)\) est un anneau. Préciser ses neutres et l’opposé de \(A\), et vérifier que c’est un anneau de Boole.
5. Pour \(E=\{1,2,3\}\), \(A=\{1,2\}\) et \(B=\{2,3\}\), calculer \(A\,\Delta\,B\) et \(A\cap B\). Exhiber enfin deux diviseurs de zéro.

Exercice 18 – Problème – Le groupe des similitudes z ↦ az + b

Pour \(a \in \mathbb{C}^*\) et \(b \in \mathbb{C}\), on note \(f_{a,b}\) l’application de \(\mathbb{C}\) dans \(\mathbb{C}\) définie par \(f_{a,b}(z)=az+b\). On pose \(G=\{f_{a,b} : a \in \mathbb{C}^*,\ b \in \mathbb{C}\}\).

1. Montrer que chaque \(f_{a,b}\) est bijective. Calculer \(f_{a,b}\circ f_{c,d}\) et \(f_{a,b}^{-1}\). En déduire que \(G\) est un sous-groupe de \((\mathcal{S}_{\mathbb{C}},\circ)\).
2. On note \(r=f_{i,0}\) et \(t=f_{1,2}\). Calculer \(r\circ t\) et \(t\circ r\). Le groupe \(G\) est-il abélien ?
3. Montrer que \(\varphi : f_{a,b} \mapsto a\) est un morphisme surjectif de \((G,\circ)\) dans \((\mathbb{C}^*,\times)\). Déterminer son noyau \(T\), puis montrer que \(T\) est isomorphe à \((\mathbb{C},+)\).
4. On note \(t_c=f_{1,c}\). Pour \(g=f_{a,b}\), calculer \(g\circ t_c\circ g^{-1}\).
5. Déterminer ensuite les éléments de \(G\) qui commutent avec tous les éléments de \(G\).
6. De même, déterminer les éléments \(g\) de \(G\) tels que \(g\circ g=\mathrm{id}\), et les interpréter géométriquement.
7. Soit \(\omega \in \mathbb{C}\). Montrer que \(G_\omega=\{g \in G : g(\omega)=\omega\}\) est un sous-groupe de \(G\) isomorphe à \((\mathbb{C}^*,\times)\).

Pour aller plus loin

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