QCM : Nature d’une série numérique en maths sup (MPSI)

Réponse D.

Par définition, \(R_n=S-S_n\), où \(S_n\) est la somme partielle. Comme \(S_n\) tend vers \(S\), le reste tend vers \(0\). La réponse \(S\) confond reste et somme partielle. Écrire \(R_n=u_{n+1}\) ne garde que le premier terme du reste. Enfin, la décroissance n’est garantie que pour des termes positifs ; en effet, \(R_n-R_{n-1}=-u_n\).

Réponse A.

Le terme général \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e}^{n\ln(1+1/n)}\) tend vers \(\mathrm{e}\), qui n’est pas nul. Par conséquent, la série diverge grossièrement, sans autre calcul. La réponse qui donne la somme \(\mathrm{e}\) confond la limite du terme avec la somme de la série. Un terme borné ne suffit jamais : la série de terme constant \(1\) diverge. Ainsi, inutile de chercher un équivalent plus fin.

Réponse A.

On écrit \(\ln\frac{n+1}{n}=\ln(n+1)-\ln n\) : la série est télescopique. Ainsi \(S_N=\ln(N+1)-\ln 1\), qui tend vers \(+\infty\). La réponse fondée sur la limite nulle du terme utilise une réciproque fausse. La somme \(\ln 2\) ne garde que le premier terme. Enfin, le terme est équivalent à \(\frac{1}{n}\), et non à \(\frac{1}{n^2}\).

Réponse B.

On décompose : \(\frac{1}{n(n+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)\). Les termes se compensent avec un décalage de \(3\) ; il reste donc \(\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\), soit \(\frac{11}{18}\). La valeur \(\frac{11}{6}\) oublie le facteur \(\frac{1}{3}\). La réponse \(\frac{1}{3}\) ne garde qu’un seul terme survivant, comme pour un décalage de \(1\).

Réponse A.

Pour une série géométrique de raison \(q\) avec \(|q|<1\), la somme vaut le premier terme divisé par \(1-q\). Ici, le premier terme est \(\frac{1}{9}\), donc la somme vaut \(\frac{1}{9}\times\frac{3}{2}=\frac{1}{6}\). La valeur \(\frac{3}{2}\) fait partir la somme de \(n=0\). De même, \(\frac{1}{2}\) la fait partir de \(n=1\). Enfin, \(\frac{2}{27}\) multiplie par \(1-q\) au lieu de diviser.

Réponse D.

On coupe la fraction en deux morceaux, \(\frac{n}{n!}\) et \(\frac{2}{n!}\). Pour \(n\geqslant 1\), le premier se simplifie en l’inverse de \((n-1)!\) ; après décalage d’indice, sa somme vaut \(\mathrm{e}\). Le second donne deux fois la série exponentielle en \(1\), soit \(2\mathrm{e}\). Le total vaut donc \(3\mathrm{e}\). La réponse \(\mathrm{e}+2\) oublie de sommer \(\frac{2}{n!}\) sur tous les \(n\). Quant à \(2\mathrm{e}\), elle perd la partie en \(\frac{n}{n!}\).

Réponse C.

Comme \(1-\cos h\sim\frac{h^2}{2}\) quand \(h\) tend vers \(0\), le terme est équivalent à \(\frac{9}{2n^2}\). Il est de plus positif, donc la comparaison avec une série de Riemann convergente s’applique. L’équivalent en \(\frac{3}{n}\) oublie le carré. La justification par la limite nulle donne la bonne nature pour une mauvaise raison. Enfin, \(1-\cos x\geqslant 0\) pour tout réel \(x\).

Réponse B.

Le quotient \(\frac{v_n}{u_n}=1+(-1)^n n^{-1/3}\) tend vers \(1\), donc \(u_n\sim v_n\). Ensuite, \(\sum u_n\) converge, puisque \(n^{-1/3}\) décroît vers \(0\) et que le signe alterne. Cependant, \(\sum v_n\) ajoute à cette série convergente une série de Riemann d’exposant \(\frac{2}{3}\), divergente : elle diverge donc. Conclure que les deux convergent applique la règle des équivalents sans son hypothèse : des termes de signe constant.

Réponse C.

Pour tout \(\alpha\), le terme reste positif ; son équivalent vaut \(n^{\alpha-2}\). On le compare donc à une série de Riemann : il faut un exposant \(2-\alpha\) strictement plus grand que \(1\), autrement dit \(\alpha<1\). La condition \(\alpha<2\) assure seulement que le terme tend vers \(0\). La condition \(\alpha>1\) inverse le sens de l’inégalité. Enfin, pour \(\alpha=1\), on retrouve un équivalent harmonique : il y a divergence.

Réponse B.

La fonction \(t\mapsto t^{-2/3}\) décroît sur \(\left]0,+\infty\right[\). Ainsi, chaque terme \(k^{-2/3}\) se place entre les intégrales de cette fonction sur \([k,k+1]\) et sur \([k-1,k]\), pour \(k\geqslant 2\). En sommant, on encadre la somme par deux quantités équivalentes à \(3n^{1/3}\), car une primitive est \(3t^{1/3}\). La réponse \(\frac{n^{1/3}}{3}\) multiplie par l’exposant au lieu de diviser. Le logarithme correspond à l’exposant \(1\).

Réponse C.

Le signe alterne et \(n^{-3/4}\) tend vers \(0\) en décroissant : le critère spécial s’applique, d’où la convergence. Pourtant, en passant aux modules, on obtient une série de Riemann d’exposant \(\frac{3}{4}\leqslant 1\), qui diverge. Conclure à la divergence confond convergence et convergence absolue : seule l’implication de l’absolue vers la simple est vraie. Enfin, le terme tend vers \(0\), donc pas de divergence grossière.

Réponse D.

Le critère majore le reste par le premier terme négligé : \(|S-S_n|\leqslant\frac{1}{(n+1)^3}\). Il suffit donc que \((n+1)^3\geqslant 1000\), soit \(n+1\geqslant 10\), d’où \(n=9\). La réponse \(n=10\) majore par le dernier terme gardé au lieu du premier négligé. La valeur \(31\) raisonne avec un carré. Enfin, \(999\) oublie l’exposant \(3\).