Distance à un sous-espace euclidien : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : distance à un sous-espace euclidien

Le sujet du contrôle : distance à un sous-espace euclidien

Exercice 1 – Question de cours : l’inégalité de Cauchy-Schwarz (3 points)

On fixe un espace préhilbertien réel \(E\) ; le produit scalaire de deux vecteurs y est noté \((x \mid y)\), et la norme qui lui correspond \(\|x\|\).

1. Rappeler d’abord l’énoncé de Cauchy-Schwarz, en précisant quand l’inégalité devient une égalité. (0,5 point)
2. Démontrer ensuite ce résultat en étudiant le signe de \(\lambda \mapsto \|x + \lambda y\|^2\), puis traiter le cas d’égalité. (1,5 point)
3. Application. Sur la sphère unité de \(\mathbb{R}^3\), muni du produit scalaire canonique, trouver la plus grande valeur prise par \(4x + 4y + 7z\), ainsi que le point où elle est atteinte. (1 point)

Exercice 2 – Un produit scalaire inhabituel sur le plan (4 points)

Pour \(x = (x_1, x_2)\) et \(y = (y_1, y_2)\) dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(\beta(x, y) = x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_2y_2\). On note aussi \(e_1 = (1, 0)\) et \(e_2 = (0, 1)\). La figure représente l’ensemble \(\Sigma\) des vecteurs \(x\) tels que \(\beta(x, x) = 1\), avec les vecteurs \(e_1\), \(e_2\) et un point \(A\).

1. Prouver que \(\beta\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^2\). On pourra écrire \(\beta(x, x)\) comme une somme de deux carrés. (1,5 point)
2. Calculer les normes de \(e_1\) et de \(e_2\) pour \(\beta\), puis leur produit scalaire. Quel angle forment alors \(e_1\) et \(e_2\) pour ce produit scalaire ? (1 point)
3. Déterminer l’orthogonal de \(e_1\) pour \(\beta\). En déduire une base \((u, v)\) orthonormée pour \(\beta\), avec \(u\) colinéaire à \(e_1\) et de même sens. (1 point)
4. Vérifier que \(A(-1, 1)\) appartient à \(\Sigma\). Placer ensuite \(u\) et \(v\) sur la figure, puis expliquer pourquoi ils ne semblent pas orthogonaux. (0,5 point)

Exercice 3 – Gram-Schmidt et projection dans R4 (4,5 points)

On munit \(\mathbb{R}^4\) de son produit scalaire canonique. Soient \(u_1 = (1, 2, 0, 2)\), \(u_2 = (3, 1, 2, 2)\), le plan \(F = \mathrm{Vect}(u_1, u_2)\) et le vecteur \(w = (3, 0, 0, 6)\).

1. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à \((u_1, u_2)\) : on obtiendra ainsi une base orthonormée \((g_1, g_2)\) de \(F\). (1,5 point)
2. Calculer ensuite le projeté orthogonal \(p\) de \(w\) sur \(F\). (1,5 point)
3. En déduire la distance \(d(w, F)\), puis la contrôler avec le théorème de Pythagore. (1 point)
4. Donner enfin une base de \(F^{\perp}\) qui contient un vecteur colinéaire à \(w – p\). (0,5 point)

Exercice 4 – Matrices symétriques et antisymétriques (4 points)

Soit \(n \geq 2\). L’espace \(\mathrm{M}_n(\mathbb{R})\) est muni du produit scalaire admis \((A \mid B) = \mathrm{tr}(A^{T} B)\). Dans \(\mathrm{M}_n(\mathbb{R})\), \(\mathrm{Sym}_n\) désigne le sous-espace formé des matrices vérifiant \(S^{T} = S\), tandis que \(\mathrm{Ant}_n\) regroupe celles qui vérifient \(A^{T} = -A\).

1. Soient \(S \in \mathrm{Sym}_n\) et \(A \in \mathrm{Ant}_n\). Montrer que \(\mathrm{tr}(SA) = -\mathrm{tr}(SA)\), puis que \(S\) et \(A\) sont orthogonales. (1,5 point)
2. Rappeler les dimensions de \(\mathrm{Sym}_n\) et de \(\mathrm{Ant}_n\). En déduire alors que \(\mathrm{Ant}_n\) est l’orthogonal de \(\mathrm{Sym}_n\). (1 point)
3. On considère \(M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}\). Déterminer le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathrm{Sym}_3\), puis la distance de \(M\) à \(\mathrm{Sym}_3\). (1,5 point)

Exercice 5 – Problème : une meilleure approximation pondérée (4,5 points)

On cherche les réels \(a\) et \(b\) qui rendent minimale la quantité \(J(a, b) = \int_0^1 2t\left(t^2 – at – b\right)^2 \mathrm{d}t\). En effet, le poids \(2t\) donne plus d’importance aux écarts commis près de \(1\), comme le montre la figure. Pour deux polynômes \(P\) et \(Q\) de degré au plus 2, on introduit donc \(\langle P, Q \rangle = \int_0^1 2t\,P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Justifier que cette formule définit un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_2[X]\). (1 point)
2. Vérifier que \(\langle X^j, X^k \rangle = \frac{2}{j+k+2}\). Orthonormaliser alors la famille \((1, X)\) par le procédé de Gram-Schmidt. (1,5 point)
3. Calculer le projeté orthogonal de \(X^2\) sur \(\mathbb{R}_1[X]\). (1 point)
4. En déduire la valeur minimale de \(J\) et le couple \((a, b)\) pour lequel elle est atteinte. Justifier aussi que ce couple est unique. (1 point)

Réviser distance à un sous-espace euclidien avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours produit scalaire, orthogonalité et gram-schmidt ; entraînez-vous sur les exercices produit scalaire, orthogonalité et gram-schmidt avant de retenter le sujet.

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