IPP et changement de variable en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Primitives à reconnaître

On considère les six fonctions suivantes.

\[f_1(x) = \frac{2x+1}{x^2+x+3},\qquad f_2(x) = \cos x\,\sin^3 x,\qquad f_3(x) = \frac{1}{9+x^2},\]
\[f_4(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}},\qquad f_5(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2x}},\qquad f_6(x) = \tan x.\]

Pour chacune, préciser d’abord un intervalle de travail. Ensuite, donner une primitive sans calcul intermédiaire, puis la vérifier par dérivation.

Exercice 2 – Primitive imposée en un point

1. Déterminer l’unique primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) de \(f : x \mapsto \dfrac{1}{1+x^2} + 2x\) telle que \(F(1) = 0\). Justifier ensuite l’unicité.
2. Trouver maintenant toutes les fonctions \(G\) dérivables sur \(\mathbb{R}^{*}\) telles que \(G^{\prime}(x) = 1/x^2\), \(G(-1) = 0\) et \(G(1) = 0\).
3. Enfin, expliquer pourquoi la question 2 n’est pas en contradiction avec l’unicité obtenue à la question 1.

Exercice 3 – Trois intégrales par lecture du tableau

Calculer les intégrales suivantes, sans changement de variable ni intégration par parties.

\[A = \int_0^{1/2} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}},\qquad B = \int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2},\qquad C = \int_0^{\pi/4} \tan^2 x\,\mathrm{d}x.\]

Pour \(C\), on pourra par exemple écrire \(\tan^2 x = (1 + \tan^2 x) – 1\).

Exercice 4 – Premières intégrations par parties

1. Calculer \(\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} x^2\ln x\,\mathrm{d}x\) en justifiant les hypothèses de l’intégration par parties.
2. De même, déterminer une primitive de \(\arctan\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Calculer alors l’aire comprise entre la courbe de l’arctangente, l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\).

Exercice 5 – Premiers changements de variable

1. D’abord, à l’aide de \(t = x^2\), calculer \(\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{1+x^4}\,\mathrm{d}x\).
2. Ensuite, à l’aide de \(u = \sin t\), calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{4+\sin^2 t}\,\mathrm{d}t\).

Exercice 6 – Une famille de trois trinômes

On considère \(g_m(x) = \dfrac{1}{x^2+6x+m}\) pour \(m \in \{5, 9, 13\}\).

1. Pour chaque valeur de \(m\), écrire le trinôme sous forme canonique et calculer son discriminant.
2. Ensuite, donner une primitive de \(g_m\) sur un intervalle convenable, dans chacun des trois cas.
3. Enfin, calculer \(\displaystyle\int_{-3}^{-1} \frac{\mathrm{d}x}{x^2+6x+13}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Oscillation amortie par les complexes

1. En écrivant \(\mathrm{e}^{-x}\cos(2x)\) comme une partie réelle, déterminer une primitive de \(x \mapsto \mathrm{e}^{-x}\cos(2x)\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer ainsi \(I = \displaystyle\int_0^{\pi} \mathrm{e}^{-x}\cos(2x)\,\mathrm{d}x\).
3. Par ailleurs, retrouver la valeur de \(I\) par deux intégrations par parties successives.

Exercice 8 – Exponentielle fois sinus carré

1. Linéariser \(\sin^2 x\).
2. Donner alors une primitive de \(x \mapsto \mathrm{e}^{x}\sin^2 x\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Enfin, calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi} \mathrm{e}^{x}\sin^2 x\,\mathrm{d}x\).

Exercice 9 – Une suite d’intégrales avec exponentielle

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\).

1. Calculer \(I_0\).
2. Montrer, en justifiant les hypothèses, que \(I_{n+1} = (n+1)\,I_n – \mathrm{e}^{-1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. Calculer ensuite \(I_1\) et \(I_2\).
4. Par un encadrement de \(\mathrm{e}^{-x}\), montrer que \(\dfrac{1}{\mathrm{e}\,(n+1)} \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}\) pour tout \(n\).
5. Enfin, déterminer la limite de \(n\,I_n\) quand \(n \to +\infty\).

Exercice 10 – Numérateur affine sur un trinôme

Soit \(h(x) = \dfrac{3x+5}{x^2+2x+5}\).

1. Justifier que \(h\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\).
2. Trouver ensuite deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(3x + 5 = \lambda(2x+2) + \mu\).
3. Donner alors une primitive de \(h\) sur \(\mathbb{R}\), puis calculer \(\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x)\,\mathrm{d}x\).

Exercice 11 – Changement de variable exponentiel

Calculer \(J = \displaystyle\int_0^{\ln 3} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{x} + 3\,\mathrm{e}^{-x}}\) à l’aide du changement de variable \(t = \mathrm{e}^{x}\). Donner finalement le résultat sous la forme \(\pi\sqrt{3}/q\) avec \(q\) entier.

Exercice 12 – Substitution trigonométrique

1. À l’aide de \(x = \sin t\), calculer \(\displaystyle\int_0^{1/2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x\).
2. Expliquer ensuite pourquoi le choix \(t \in [0, \pi/6]\) permet d’écrire \(\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t\) sans valeur absolue.

Exercice 13 – Choisir la bonne méthode

Voici quatre intégrales sans indication.

\[P = \int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x,\qquad Q = \int_1^{\mathrm{e}} \frac{(\ln x)^2}{x}\,\mathrm{d}x,\qquad R = \int_0^1 \arcsin x\,\mathrm{d}x,\qquad S = \int_0^1 x^3\,\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x.\]

Pour chacune, indiquer d’abord la méthode retenue en une phrase, puis mener le calcul. Pour \(R\), en particulier, on veillera à ne pas appliquer une formule hors de ses hypothèses.

Exercice 14 – Symétrie de l’intervalle

Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). On pose \(K_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x}\,\mathrm{d}x\).

1. Vérifier d’abord que l’intégrande est bien défini et continu sur \([0, \pi/2]\).
2. Poser \(x = \pi/2 – t\) et établir que \(K_n\) est aussi égal à \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^n t}{\sin^n t + \cos^n t}\,\mathrm{d}t\).
3. Ajouter enfin les deux écritures de \(K_n\) pour obtenir sa valeur, sans calculer aucune primitive.

Exercice 15 – Trinôme à paramètre

Soit \(m\) un réel. On note \(T_m(x) = x^2 + 2x + m\).

1. Selon la valeur de \(m\), donner une primitive de \(1/T_m\) sur un intervalle où \(T_m\) ne s’annule pas. On distinguera donc \(m > 1\), \(m = 1\) et \(m < 1\).
2. Calculer ensuite \(\displaystyle\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{x^2+2x+2}\).
3. De même, calculer \(\displaystyle\int_2^3 \frac{\mathrm{d}x}{x^2+2x-3}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Tangente de l’angle moitié sur une période

1. À l’aide du changement de variable \(t = \tan(x/2)\), déterminer une primitive \(F\) de \(x \mapsto \dfrac{1}{2+\cos x}\) sur \(]-\pi, \pi[\).
2. Un étudiant écrit \(\displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x} = \big[F(x)\big]_0^{2\pi}\). Expliquer pourquoi ce calcul n’a pas de sens.
3. Montrer ensuite que \(\displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x} = 2\int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x}\).
4. Enfin, en utilisant la continuité de \(x \mapsto \int_0^x \frac{\mathrm{d}u}{2+\cos u}\), calculer cette intégrale.

Exercice 17 – Problème : une récurrence autour de un plus x carré

Pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)^n}\).

1. Calculer \(I_1\).
2. Intégrer \(I_n\) par parties avec \(v(x) = x\), puis établir la relation \(2n\,I_{n+1} = 2^{-n} + (2n-1)\,I_n\), valable dès que \(n \geq 1\).
3. Calculer ensuite \(I_2\) et \(I_3\).
4. Par ailleurs, vérifier que \(\Phi : x \mapsto \dfrac{x}{2(1+x^2)} + \dfrac{1}{2}\arctan x\) est une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{(1+x^2)^2}\) sur \(\mathbb{R}\), et retrouver \(I_2\).
5. Par un changement de variable affine, calculer \(\displaystyle\int_{-1}^{0} \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+2x+2)^2}\).
6. Montrer de plus que la suite \((I_n)\) est décroissante et positive.
7. Soit \(\varepsilon \in \, ]0, 1[\). Montrer que \(I_n \leq \varepsilon + (1+\varepsilon^2)^{-n}\). Conclure enfin sur la limite de \((I_n)\).

Exercice 18 – Logarithme sur un plus x carré

On pose \(L = \displaystyle\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\).

1. D’abord, à l’aide de \(x = \tan t\), montrer que \(L = \displaystyle\int_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan t)\,\mathrm{d}t\).
2. Vérifier ensuite que, pour \(u \in [0, \pi/4]\), on a \(1 + \tan\left(\dfrac{\pi}{4} – u\right) = \dfrac{2}{1+\tan u}\).
3. À l’aide du changement de variable \(t = \pi/4 – u\), obtenir alors la valeur de \(L\).
4. Finalement, par une intégration par parties, calculer \(\displaystyle\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x}\,\mathrm{d}x\).

Pour aller plus loin

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