Intégrale et sommes de Riemann en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Intégrales de fonctions en escalier

On note \(\lfloor x \rfloor\) la partie entière du réel \(x\).

1. D’abord, calculer \(I = \displaystyle\int_{-1}^{5/2} \lfloor x \rfloor\,\mathrm{d}x\).
2. Ensuite, calculer \(J = \displaystyle\int_0^2 \lfloor 3x \rfloor\,\mathrm{d}x\).
3. Enfin, justifier que \(x \mapsto x – \lfloor x \rfloor\) est continue par morceaux sur \([0, 3]\), puis calculer son intégrale sur ce segment.

Exercice 2 – Continuité uniforme sur des exemples

1. Pour des réels positifs \(x\) et \(y\), établir l’inégalité \(|\sqrt{x} – \sqrt{y}| \leqslant \sqrt{|x – y|}\). Prouver ensuite que la racine carrée vérifie la définition de la continuité uniforme sur \([0, +\infty[\).
2. Ensuite, montrer que l’exponentielle n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\). On pourra utiliser \(x_n = n + \dfrac{1}{n}\) et \(y_n = n\).
3. Enfin, on pose \(g(x) = x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) pour \(x \in \, ]0, 1]\) et \(g(0) = 0\). Montrer que \(g\) est uniformément continue sur \([0, 1]\).

Exercice 3 – Majoration d’une suite d’intégrales

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(K_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \ln(1 + x)\,\mathrm{d}x\).

1. Montrer que \(0 \leqslant K_n \leqslant \dfrac{\ln 2}{n + 1}\). En déduire la limite de \((K_n)\).
2. Montrer ensuite que la suite \((K_n)\) est décroissante.
3. Par une intégration par parties, montrer que \((n + 1)K_n = \ln 2 – \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1 + x}\,\mathrm{d}x\). En déduire la limite de \(nK_n\).

Exercice 4 – Parité et périodicité

Calculer les intégrales suivantes, sans chercher de primitive lorsque c’est inutile.

1. \(\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^5 – 3x^3 + x)\,\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(|x| + x^3\cos x\right)\mathrm{d}x\).
2. \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} |\sin x|\,\mathrm{d}x\), puis \(\displaystyle\int_0^{10\pi} |\sin x|\,\mathrm{d}x\).
3. Enfin, \(\displaystyle\int_1^{1 + \pi} |\sin x|\,\mathrm{d}x\).

Exercice 5 – Valeur moyenne de trois fonctions

Pour chaque fonction, calculer sa valeur moyenne \(\mu\) sur le segment indiqué, puis déterminer tous les réels \(c\) du segment tels que \(f(c) = \mu\).

1. D’abord, \(f(x) = x^2\) sur \([0, 3]\).
2. Ensuite, \(f(x) = \sin x\) sur \([0, \pi]\). La figure montre d’ailleurs la courbe et sa valeur moyenne.
3. Enfin, \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \([1, \mathrm{e}]\).

Exercice 6 – Premières sommes de Riemann

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes.

1. \(a_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{n + 2k}{n^2}\). Vérifier ensuite le résultat par un calcul direct de la somme.
2. Ensuite, \(b_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2n + k}\).
3. Enfin, \(c_n =\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{k\pi}{2n}\right)\).

Exercice 7 – Dériver une intégrale à bornes variables

Justifier la dérivabilité sur \(\mathbb{R}\) des fonctions suivantes, puis calculer leurs dérivées.

1. \(G(x) = \displaystyle\int_x^{x^2} \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\). Calculer \(G^{\prime}(1)\), puis donner le signe de \(G\) sur \([0, 1]\).
2. De même, \(H(x) = \displaystyle\int_0^{\sin x} \sqrt{1 + t^2}\,\mathrm{d}t\).
3. \(L(x) = \displaystyle\int_{-x}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^4}\). Montrer de plus que \(L\) est impaire et croissante.

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Somme de Riemann sur un segment de longueur 2

On pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{n}{n^2 + k^2}\). La figure représente les rectangles associés pour \(n = 4\).

1. Écrire \(S_n\) comme une somme de Riemann d’une fonction \(f\) sur un segment à préciser.
2. Par conséquent, déterminer la limite de \((S_n)\).
3. Par ailleurs, la fonction \(f\) est décroissante. Montrer que \(S_n \leqslant \arctan 2\) pour tout \(n\).

Exercice 9 – Limite d’un produit par le logarithme

Déterminer les limites des suites suivantes.

1. \(P_n = \left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n} \left(2 + \frac{k}{n}\right)\right)^{1/n}\).
2. De même, \(Q_n = \dfrac{1}{n^2}\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n} (n^2 + k^2)\right)^{1/n}\).

Exercice 10 – Une somme pondérée par un sinus

On pose \(u_n = \dfrac{1}{n^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\).

1. Montrer que \((u_n)\) converge vers \(\displaystyle\int_0^1 x^2\sin(\pi x)\,\mathrm{d}x\).
2. Ensuite, calculer cette intégrale par deux intégrations par parties.

Exercice 11 – Vitesse de convergence vers ln 2

On pose \(L_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n + k}\) et \(R_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k}\).

1. Reconnaître dans \(L_n\) et \(R_n\) deux sommes de Riemann de \(f(x) = \dfrac{1}{1 + x}\) sur \([0, 1]\).
2. Ensuite, en utilisant la décroissance de \(f\), montrer que \(R_n \leqslant \ln 2 \leqslant L_n\).
3. Calculer \(L_n – R_n\). En déduire que \(0 \leqslant L_n – \ln 2 \leqslant \dfrac{1}{2n}\).
4. Enfin, donner un rang qui garantit \(|L_n – \ln 2| \leqslant 10^{-3}\), puis comparer avec la majoration générale du cours.

Exercice 12 – Intégrale nulle et fonction continue

1. Déterminer toutes les fonctions \(f\) continues sur \([0, 1]\) telles que \(\displaystyle\int_0^1 f(x)^2\,\mathrm{d}x = 2\int_0^1 x f(x)\,\mathrm{d}x – \frac{1}{3}\).
2. Soit ensuite \(f\) continue sur \([a, b]\), avec \(a < b\), telle que \(\displaystyle\int_a^b f = \int_a^b |f|\). Montrer que \(f\) est positive sur \([a, b]\).
3. Cependant, montrer par un exemple que la conclusion de la question 2 tombe en défaut pour une fonction continue par morceaux.

Exercice 13 – Limite d’une suite d’intégrales par continuité

Soit \(f\) continue sur \([0, 1]\). On note \(M = \sup_{[0, 1]} |f|\) et \(J_n = \displaystyle\int_0^1 f(x^n)\,\mathrm{d}x\).

1. Soit \(\varepsilon \in \, ]0, 1[\). Justifier l’existence de \(\eta > 0\) tel que \(|f(y) – f(0)| \leqslant \varepsilon\) pour \(y \in [0, \eta]\).
2. Ensuite, montrer qu’il existe un rang \(N\) tel que \(x^n \leqslant \eta\) pour tout \(x \in [0, 1 – \varepsilon]\) et tout \(n \geqslant N\).
3. En coupant l’intégrale en \(1 – \varepsilon\), montrer que \(|J_n – f(0)| \leqslant (1 + 2M)\varepsilon\) pour \(n \geqslant N\). Conclure.
4. Application : déterminer la limite de \(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{4 + x^n}\,\mathrm{d}x\).

Exercice 14 – Étude complète d’une fonction intégrale

Pour \(x \geqslant 0\), on pose \(\varphi(x) = \displaystyle\int_x^{2x} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 + t^3}}\).

1. Justifier que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0, +\infty[\) et calculer \(\varphi^{\prime}\).
2. Ensuite, dresser le tableau de variations de \(\varphi\).
3. Montrer que \(0 \leqslant \varphi(x) \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) pour \(x > 0\). En déduire la limite de \(\varphi\) en \(+\infty\).
4. Montrer que \(\varphi(x) \sim x\) quand \(x \to 0\).
5. Enfin, montrer que \(\varphi(x) \sim \dfrac{2 – \sqrt{2}}{\sqrt{x}}\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 15 – Valeur approchée de la racine carrée de e

On note \(s_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k\,k!}\).

1. En appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’exponentielle sur \(\left[0, \dfrac{1}{2}\right]\), montrer que \(\left|\sqrt{\mathrm{e}} – s_n\right| \leqslant \dfrac{2}{2^{n+1}(n + 1)!}\). On admet que \(\mathrm{e} < 4\).
2. Ensuite, déterminer le plus petit \(n\) pour lequel cette majoration garantit une erreur inférieure à \(10^{-5}\).
3. Enfin, calculer \(s_n\) pour cette valeur de \(n\) et donner une valeur approchée de \(\sqrt{\mathrm{e}}\).

Exercice 16 – Encadrement du logarithme par Taylor

1. Écrire le reste intégral de Taylor à l’ordre \(2\) pour \(x \mapsto \ln(1 + x)\) en \(0\). Établir ainsi, pour \(x \geqslant 0\), l’encadrement \[x – \frac{x^2}{2} \leqslant \ln(1 + x) \leqslant x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}.\]
2. Par conséquent, encadrer \(\ln(1{,}1)\) avec une précision meilleure que \(4 \times 10^{-4}\).
3. Enfin, déterminer la limite de \(n\left(n\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) – 1\right)\).

Exercice 17 – Équivalent d’une somme par Riemann

Déterminer un équivalent simple de chacune des sommes suivantes quand \(n \to +\infty\).

1. \(A_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\,\mathrm{e}^{-k/n}\).
2. \(B_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k(n – k)}\). On pourra interpréter géométriquement l’intégrale obtenue.

Pour approfondir

Exercice 18 – Sommes de Riemann d’une fonction continue

Soit \(f\) continue sur \([a, b]\), avec \(a < b\). On pose \(h = \dfrac{b – a}{n}\) et \(x_k = a + kh\). Pour chaque \(n\), on choisit des points \(\xi_k \in [x_k, x_{k+1}]\) et on pose \(\Sigma_n = h\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_k)\).

1. Soit \(\varepsilon > 0\). À l’aide du théorème de Heine, montrer qu’il existe un rang \(N\) tel que \(\left|\displaystyle\int_a^b f – \Sigma_n\right| \leqslant \varepsilon(b – a)\) pour \(n \geqslant N\).
2. En déduire que \(\Sigma_n \to \displaystyle\int_a^b f\), quel que soit le choix des points \(\xi_k\).
3. Application : déterminer la limite de \(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \exp\left(\frac{2k + 1}{2n}\right)\).

Exercice 19 – Lemme de Riemann-Lebesgue

Soit \([a, b]\) un segment. On veut montrer que \(\displaystyle\int_a^b f(t)\cos(nt)\,\mathrm{d}t \to 0\) pour toute fonction \(f\) continue sur \([a, b]\).

1. Pour \(a \leqslant c \leqslant d \leqslant b\), montrer que \(\left|\displaystyle\int_c^d \cos(nt)\,\mathrm{d}t\right| \leqslant \dfrac{2}{n}\).
2. En déduire le résultat pour une fonction en escalier.
3. Soit \(f\) continue et \(\varepsilon > 0\). En utilisant une fonction en escalier \(\varphi\) telle que \(|f – \varphi| \leqslant \varepsilon\), conclure.
4. Application : déterminer la limite de \(\displaystyle\int_0^\pi \sqrt{t}\,\cos^2(nt)\,\mathrm{d}t\).

Exercice 20 – Problème – Méthode des trapèzes

Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([a, b]\), avec \(M_2 = \sup_{[a, b]} |f^{\prime\prime}|\). On pose \(h = \dfrac{b – a}{n}\), \(x_k = a + kh\), et \[T_n = h\left(\frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\right).\]

Partie A : une formule exacte sur un petit intervalle

Soit \(g\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([0, h]\). Par deux intégrations par parties, montrer que \[\int_0^h g(t)\,\mathrm{d}t = \frac{h}{2}\left(g(0) + g(h)\right) – \frac{1}{2}\int_0^h t(h – t)\,g^{\prime\prime}(t)\,\mathrm{d}t.\]

Partie B : majoration locale

Calculer \(\displaystyle\int_0^h t(h – t)\,\mathrm{d}t\). En déduire que l’écart entre \(\int_0^h g\) et \(\frac{h}{2}(g(0) + g(h))\) est au plus \(\dfrac{h^3}{12}\sup_{[0, h]} |g^{\prime\prime}|\).

Partie C : majoration globale

1. Montrer que \(T_n\) est la moyenne des sommes de Riemann à gauche et à droite.
2. Montrer que \(\left|\displaystyle\int_a^b f – T_n\right| \leqslant \dfrac{M_2(b – a)^3}{12n^2}\).

Partie D : application au calcul de ln 2

1. On prend \(f(t) = \dfrac{1}{t}\) sur \([1, 2]\). Montrer que \(0 \leqslant T_n – \ln 2 \leqslant \dfrac{1}{6n^2}\).
2. Calculer \(T_2\) et vérifier la majoration.
3. Déterminer un rang qui garantit une erreur d’au plus \(10^{-4}\). Comparer avec l’exercice 11.

Pour aller plus loin

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