QCM : Étude de fonctions et réciproques en maths sup (MPSI)

Réponse C.

Il faut d’abord \(3-x>0\), puis \(\ln(3-x)\geq0\), c’est-à-dire \(3-x\geq1\). On obtient donc \(x\leq2\), qui entraîne la première condition. Le piège \(]-\infty,3[\) oublie la racine carrée. Ensuite, \([2,3[\) inverse le sens de l’inégalité en passant de \(\ln\) à son argument. Enfin, exclure 2 est inutile, puisque \(\sqrt{0}\) existe.

Réponse A.

Les deux termes sont pairs, donc \(g\) l’est aussi. De plus, \(|\sin|\) et \(\cos(2\cdot)\) admettent toutes deux la période \(\pi\). Le piège \(2\pi\) oublie que la valeur absolue divise la période du sinus par deux. Cependant, \(\pi/2\) ne convient pas : \(g(0)=1\) alors que \(g(\pi/2)=0\). Ainsi, la plus petite période vaut bien \(\pi\).

Réponse A.

Le point \((a,f(a))\) devient \((a/2,f(a)-3)\) : les abscisses sont divisées par 2, et les ordonnées baissent de 3. Le piège du rapport 2 vient d’une lecture naïve du coefficient. En effet, multiplier la variable par 2 fait aller la fonction deux fois plus vite, donc resserre la courbe. Par ailleurs, l’affinité verticale concernerait \(2f(x)\), et le signe moins fait bien descendre la courbe.

Réponse B.

On cherche d’abord l’antécédent : \(f(1)=3\). Comme \(f^{\prime}(1)=3+1=4\neq0\), la formule donne \((f^{-1})^{\prime}(3)=1/f^{\prime}(1)=1/4\). Le piège \(1/28\) évalue \(f^{\prime}\) en 3 au lieu de l’antécédent de 3. Ensuite, la réponse 4 oublie l’inverse. Ainsi, il faut toujours passer par le point \(f^{-1}(3)\).

Réponse C.

Toute puissance strictement positive de \(x\) l’emporte sur toute puissance du logarithme. En posant \(x=e^u\), le quotient devient \(u^5e^{-u/10}\), qui tend vers 0. Le piège \(+\infty\) se fie aux exposants, 5 contre \(0{,}1\), sans tenir compte de la nature des fonctions. De son côté, 50 vient d’une division abusive des exposants. Cependant, la convergence est lente : le quotient dépasse encore \(10^{6}\) pour \(x=e^{50}\).

Réponse D.

La fonction \(\ln\) est concave, donc sa courbe reste sous sa tangente en 1. Ainsi, \(\ln(1+x)\leq x\), avec égalité seulement en 0. Le piège inverse place la courbe au-dessus de la tangente. Ensuite, la version avec \(x^2/2\) est fausse pour \(x>0\), où l’inégalité s’inverse. Enfin, la minoration par \(x/2\) échoue près de \(-1\), car le logarithme y tend vers \(-\infty\).

Réponse B.

Pour \(t>0\), la dérivée de \(t\mapsto\arctan t+\arctan(1/t)\) est nulle, donc cette somme est constante sur \(]0,+\infty[\). En \(t=1\), elle vaut \(\pi/4+\pi/4\). Le piège \(\arctan(10/3)\) additionne les arguments, comme si arctan était linéaire. Par ailleurs, \(\pi\) est impossible, puisque chaque terme est strictement inférieur à \(\pi/2\). Pour \(t<0\), la constante serait \(-\pi/2\).

Réponse D.

La fonction arccos est à valeurs dans \([0,\pi]\). Or \(\cos(-4\pi/3)=\cos(4\pi/3)=-1/2\), et l’unique angle de \([0,\pi]\) de cosinus \(-1/2\) est \(2\pi/3\). Le piège \(-4\pi/3\) simplifie arccos et cos comme deux réciproques, ce qui n’est valable que sur \([0,\pi]\). De même, \(4\pi/3\) sort de cet intervalle. Enfin, \(\pi/3\) a pour cosinus \(+1/2\).

Réponse C.

La dérivée de arcsin en \(u\in]-1,1[\) vaut \(1/\sqrt{1-u^2}\). Par composition, avec \(u=2x\), on multiplie par \(u^{\prime}=2\) et on remplace \(u^2\) par \(4x^2\). Le piège sans le facteur 2 oublie la dérivée intérieure. Ensuite, \(1-2x^2\) élève mal \(2x\) au carré. Enfin, le signe plus sous la racine correspond à argsh, et non à arcsin.

Réponse B.

Par définition, \(\operatorname{ch}u=\frac{e^u+e^{-u}}{2}\). Avec \(e^{\ln3}=3\) et \(e^{-\ln3}=1/3\), on obtient donc \(\frac{3+1/3}{2}=\frac53\). Le piège \(4/3\) calcule \(\operatorname{sh}(\ln3)\), avec une différence au numérateur. De plus, \(10/3\) oublie la division par 2. Enfin, \(3/5\) est inférieur à 1, ce qui est impossible pour ch.

Réponse D.

Pour \(\varphi\) dérivable à valeurs complexes, \((e^{\varphi})^{\prime}=\varphi^{\prime}e^{\varphi}\). Une primitive de \(e^{(1+i)t}\) est donc \(\frac{1-i}{2}e^{(1+i)t}\), dont la partie réelle vaut \(\frac{e^t(\cos t+\sin t)}{2}\). Le piège sans le facteur \(\frac12\) oublie de diviser par \(1+i\), de module \(\sqrt2\). Quant au signe moins, il provient de la partie réelle de \((1+i)e^{(1+i)t}\) mal développée.

Réponse A.

On étudie \(h(x)=x-\arctan x\), de dérivée \(\frac{x^2}{1+x^2}\geq0\) ; comme \(h(0)=0\), on a \(h\geq0\). De même, \(k(x)=\arctan x-x+\frac{x^3}{3}\) a pour dérivée \(\frac{x^4}{1+x^2}\geq0\). Le piège avec \(x^3/6\) recopie le développement du sinus ; il est faux près de 0 car arctan perd \(x^3/3\). Enfin, arctan reste en dessous de \(x\), qui n’en est donc pas un minorant.