QCM : Sous-espaces et supplémentaires en maths sup (MPSI)

Réponse C.

L’ensemble \(x+2y-z=0\) est le noyau d’une forme linéaire, donc un sous-espace. Celui défini par \(x+2y=z+1\) ne contient pas le vecteur nul. L’ensemble \(xy=0\) contient \((1,0,0)\) et \((0,1,0)\), mais pas leur somme : il n’est donc pas stable par addition. Enfin, la condition \(x\ge0\) n’est pas stable par multiplication par \(-1\).

Réponse D.

La relation \(f(1)-2f(0)=0\) est linéaire en \(f\) : elle contient la fonction nulle et reste vraie pour toute combinaison linéaire. En revanche, la condition \(f(0)=1\) exclut la fonction nulle. Par ailleurs, \(x\mapsto x^3\) et \(x\mapsto -x\) sont monotones, alors que leur somme ne l’est pas. Enfin, l’opposé d’une fonction positive non nulle n’est plus positif.

Réponse D.

Le polynôme nul n’est pas de degré \(3\). De plus, \(X^3\) et \(-X^3+X\) ont pour somme \(X\) : la stabilité échoue donc aussi. En revanche, les polynômes de degré au plus \(3\) forment \(\mathbb{R}_3[X]\), un sous-espace. Les multiples de \(X^2+1\) sont stables par combinaison linéaire. Enfin, l’évaluation en \(2\) est linéaire, si bien que la condition \(P(2)=0\) définit un sous-espace.

Réponse B.

La trace est linéaire, donc son noyau est un sous-espace. Les matrices inversibles excluent la matrice nulle. Par ailleurs, \(E_{11}\) et \(E_{22}\) sont de déterminant nul, alors que leur somme \(I_2\) est inversible. De même, \(E_{12}\) et \(E_{21}\) vérifient \(M^2=0\), cependant leur somme a pour carré \(I_2\). Ces deux conditions ne sont donc pas linéaires.

Réponse D.

Si aucun n’est inclus dans l’autre, on prend \(x\in F\setminus G\) et \(y\in G\setminus F\). Alors \(x+y\) n’est ni dans \(F\), sinon \(y\) y serait, ni dans \(G\). La réunion n’est donc pas stable. Ainsi, contrairement à l’intersection, la réunion n’est pas toujours un sous-espace. La condition \(F\cap G=\{0\}\) confond avec la somme directe. Enfin, \(F=G\) suffit mais n’est pas nécessaire.

Réponse B.

On cherche \(a,b\) tels que \(au+bv=(a,\,a+2b,\,a+b)=(1,5,3)\). La première coordonnée impose \(a=1\), puis la deuxième donne \(b=2\). On vérifie enfin la troisième : \(1+2=3\). Par conséquent, \(w\) appartient bien à \(\operatorname{Vect}(u,v)\). La combinaison \(2u+v\) vaut \((2,4,3)\). Quant à \(-u+3v\), elle vaut \((-1,5,2)\).

Réponse A.

On a \(\cos^2-\sin^2=\cos(2\,\cdot)\) et \(\cos^2+\sin^2=1\). Donc \(\operatorname{Vect}(\cos^2,\sin^2)=\operatorname{Vect}(1,\cos(2\,\cdot))\). Toutes ses fonctions sont paires, ce qui exclut \(x\mapsto\sin(2x)\), confondue ici avec un produit \(\sin\cos\). De plus, elles sont \(\pi\)-périodiques, ce qui exclut \(\cos\). Enfin, l’identité \(\cos^2+\sin^2=1\) ne rend pas constantes toutes les combinaisons.

Réponse C.

Un vecteur de l’intersection vérifie à la fois \(x=y\) et \(z=-y\). Il s’écrit donc \((y,y,-y)=y(1,1,-1)\). Deux plans distincts de \(\mathbb{R}^3\) se coupent selon une droite, et non selon \(\{0\}\). Le vecteur \((1,1,1)\) est bien dans \(F\), mais \(1+1\neq0\). Quant à \((1,-1,1)\), il est dans \(G\) sans être dans \(F\).

Réponse C.

Une droite \(\operatorname{Vect}(u)\) est supplémentaire de \(P\) si et seulement si \(u\notin P\), puisque les dimensions \(2\) et \(1\) ont pour somme \(3\). Or \(1-0+2=3\neq0\), donc \((1,0,1)\) convient. Les trois autres vecteurs vérifient l’équation : par exemple \(2-0-2=0\). Ces droites sont donc contenues dans \(P\). Ainsi, il ne suffit pas de choisir une droite « différente » du plan.

Réponse A.

Par définition, la somme est directe si la décomposition de chaque vecteur est unique. Par linéarité, il suffit de le vérifier pour le vecteur nul. Cependant, trois droites distinctes de \(\mathbb{R}^2\) ont des intersections deux à deux nulles, et pourtant \((1,0)+(0,1)-(1,1)=0\). Ainsi le critère par intersection ne vaut que pour deux sous-espaces. L’intersection globale, ou une seule paire, en dit encore moins.

Réponse B.

L’analyse impose la composante paire \(x\mapsto\frac{f(x)+f(-x)}{2}\). Ici, \(f(-x)=e^{-2x}-x\), donc les termes en \(x\) s’annulent et il reste \(\operatorname{ch}(2x)\). La réponse \(\operatorname{sh}(2x)+x\) est la composante impaire. Garder \(+x\) dans la partie paire oublie que \(x\) est impaire. Enfin, \(\frac{1}{2}e^{2x}\) n’est pas paire : elle divise \(f\) par deux sans symétriser.

Réponse A.

Analyse : si \(f=h+g\) avec \(h\in F\) et \(g\) affine, alors \(g(0)=f(0)\) et \(g(1)=f(1)\). Une fonction affine étant fixée par deux valeurs, \(g\) est unique. Synthèse : on vérifie ensuite que \(f-g\) s’annule en \(0\) et en \(1\). La réponse \(f(0)+f(1)x\) vaut \(f(0)+f(1)\) en \(1\). Quant à \(f(1)+(f(0)-f(1))x\), elle échange les valeurs en \(0\) et en \(1\).