Sommes, produits et binôme en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Nombre de termes et décalage d’indice

Soit \(n \geqslant 1\) un entier.

1. Combien de termes comporte \(\displaystyle S = \sum_{k=3}^{12} (2k – 5)\) ? Calculer \(S\) par linéarité.
2. Retrouver \(S\) en posant \(j = k – 2\), puis en reconnaissant la somme des premiers entiers impairs.
3. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} (-1)^k k\) en regroupant les termes deux par deux.

Exercice 2 – Produit télescopique de 1 + 3/k

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle P_n = \prod_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{3}{k}\right)\).

1. Écrire chaque facteur sous la forme d’un quotient d’entiers.
2. En déduire une expression de \(P_n\) à l’aide de factorielles, puis sous forme factorisée.
3. Vérifier le résultat pour \(n = 1\) et \(n = 2\).

Exercice 3 – Somme géométrique de raison 3/4

Pour \(n \geqslant 2\), on pose \(\displaystyle G_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{3^k}{4^{k-1}}\).

1. Écrire \(G_n\) comme une constante multipliée par une somme géométrique, en précisant la raison et le nombre de termes.
2. Calculer \(G_n\), puis sa limite quand \(n\) tend vers l’infini.

Exercice 4 – Somme des k(k+2)

Calculer, pour \(n \geqslant 1\), la somme \(\displaystyle U_n = \sum_{k=1}^{n} k(k+2)\). Donner le résultat sous forme factorisée et le vérifier pour \(n = 2\).

Exercice 5 – Factoriser 32 − x⁵ et une divisibilité

1. Factoriser \(32 – x^5\) par \(2 – x\) en utilisant la factorisation de \(a^n – b^n\).
2. En déduire, pour \(x \neq 2\), une expression simple de \(\displaystyle\sum_{k=0}^{4} 2^{4-k} x^k\).
3. Montrer que, pour tout entier \(n \geqslant 1\), l’entier \(7^n – 2^n\) est divisible par \(5\).

Exercice 6 – Premiers calculs de coefficients binomiaux

1. Calculer \(\binom{9}{4}\) et \(\binom{10}{7}\) en simplifiant avant d’effectuer les produits.
2. Pour \(n \geqslant 3\), simplifier le quotient \(\binom{n}{3} \Big/ \binom{n}{2}\).
3. Démontrer, à partir de la définition, que \(k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}\) pour \(1 \leqslant k \leqslant n\).
4. Développer \((2x – 1)^4\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Somme des k(n+1−k) par retournement

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle R_n = \sum_{k=1}^{n} k(n+1-k)\).

1. Effectuer le changement d’indice \(j = n + 1 – k\). Que remarque-t-on ?
2. Calculer \(R_n\) à l’aide des sommes de référence.
3. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (n – k)\binom{n}{k}\) par retournement, puis en déduire \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}\) sans utiliser la formule du pion.

Exercice 8 – Télescopage par décomposition en éléments simples

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)(k+3)}\).

1. Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\frac{1}{(k+1)(k+3)} = \frac{\alpha}{k+1} + \frac{\beta}{k+3}\) pour tout \(k \geqslant 1\).
2. En déduire une expression de \(S_n\) sans symbole Σ.
3. Déterminer la limite de \(S_n\).

Exercice 9 – Logarithme d’un produit télescopique

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle L_n = \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{2}{k(k+3)}\right)\).

1. Factoriser \(k(k+3) + 2\).
2. Écrire \(L_n\) comme le logarithme d’un produit, puis calculer ce produit.
3. En déduire la limite de \(L_n\).

Exercice 10 – Factorielles au dénominateur

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle F_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k! + (k+1)! + (k+2)!}\).

1. Factoriser \(k! + (k+1)! + (k+2)!\) par \(k!\).
2. Montrer que le terme général vaut \(\frac{1}{(k+1)!} – \frac{1}{(k+2)!}\).
3. En déduire \(F_n\) et sa limite.

Exercice 11 – Sommes triangulaires de quotients

Soit \(n \geqslant 1\). La figure montre les valeurs de \(\frac{i}{j}\) sur le triangle \(1 \leqslant i \leqslant j \leqslant 5\).

1. Calculer \(\displaystyle\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} \frac{2i – 1}{j}\) en choisissant bien l’indice extérieur.
2. Calculer \(\displaystyle\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} \frac{i}{j}\), puis contrôler avec la figure pour \(n = 2\).
3. Calculer \(\displaystyle\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (j – i)\).

Exercice 12 – Somme double du minimum

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle M_n = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \min(i, j)\). La figure donne le tableau des valeurs de \(\min(i,j)\) pour \(n = 5\).

1. Calculer \(M_3\) directement.
2. Pour \(1 \leqslant k \leqslant n\), dénombrer les couples \((i, j)\) de \([\![1, n]\!]^2\) tels que \(\min(i, j) = k\).
3. En déduire \(M_n\) sous forme factorisée.
4. Utiliser l’égalité \(\min(i,j) + \max(i,j) = i + j\) pour calculer \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \max(i, j)\).

Exercice 13 – Évaluer le binôme en des points choisis

Soit \(n \in \mathbb{N}\). Calculer les sommes suivantes.

1. \(\displaystyle A_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 4^k\).
2. \(\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} 3^{n-k}\).
3. \(\displaystyle C_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{3^k}\).
4. \(\displaystyle D_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^{2k+1}\).

Exercice 14 – Coefficients d’indice pair pondérés

Soit \(n \geqslant 1\) et \(x\) un réel.

1. Montrer que \(\displaystyle\sum_{0 \leqslant 2p \leqslant n} \binom{n}{2p} x^{2p} = \frac{(1+x)^n + (1-x)^n}{2}\).
2. En déduire \(\displaystyle\sum_{0 \leqslant 2p \leqslant n} \binom{n}{2p} 9^p\), puis vérifier pour \(n = 2\).
3. Établir de même une formule pour \(\displaystyle\sum_{0 \leqslant 2p+1 \leqslant n} \binom{n}{2p+1} 3^{2p+1}\).
4. Calculer \(\displaystyle\sum_{0 \leqslant 2p \leqslant n} \binom{n}{2p}\).

Exercice 15 – Sommes pondérées par k et par k(k−1)

Soit \(n \geqslant 2\).

1. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k} 2^k\) à l’aide de la formule du pion.
2. Montrer que \(k(k-1)\binom{n}{k} = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}\) pour \(2 \leqslant k \leqslant n\), puis calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom{n}{k}\).
3. En déduire \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^2\binom{n}{k}\) et vérifier le résultat pour \(n = 2\).

Exercice 16 – Somme des C(n,k)/(k+1)

Soit \(n \in \mathbb{N}\).

1. Montrer que \(\displaystyle\frac{1}{k+1}\binom{n}{k} = \frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}\) pour \(0 \leqslant k \leqslant n\).
2. En déduire \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}\).
3. Vérifier le résultat pour \(n = 3\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Somme des cubes par un télescopage d’ordre 4

Pour \(k \in \mathbb{N}\), on pose \(v_k = k(k+1)(k+2)(k+3)\).

1. Pour \(k \geqslant 1\), calculer et factoriser \(v_k – v_{k-1}\).
2. En déduire \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)\) pour \(n \geqslant 1\).
3. Développer \(k(k+1)(k+2)\), puis en déduire \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3\) sous forme factorisée.

Exercice 18 – Sommation sur une colonne du triangle de Pascal

Soit \(p \in \mathbb{N}\) fixé.

1. Montrer que \(\binom{k}{p} = \binom{k+1}{p+1} – \binom{k}{p+1}\) pour tout entier \(k \geqslant p\).
2. En déduire que \(\displaystyle\sum_{k=p}^{n} \binom{k}{p} = \binom{n+1}{p+1}\) pour tout \(n \geqslant p\).
3. Avec \(p = 2\), calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\), puis retrouver \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2\).
4. Avec \(p = 3\), retrouver la valeur de \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)\).

Exercice 19 – Somme alternée des C(n,k)/(k+1)

Soit \(n \in \mathbb{N}\). On admet la relation de l’exercice 16.

1. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k+1}\binom{n}{k}\).
2. Montrer que \(\displaystyle\frac{1}{(k+1)(k+2)}\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}\binom{n+2}{k+2}\), puis calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(k+1)(k+2)}\binom{n}{k}\).
3. En déduire \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k+2}\binom{n}{k}\).

Exercice 20 – Problème – Sommes de k x puissance k par interversion

Soit \(x\) un réel différent de \(1\) et \(n \geqslant 1\). On pose \(\displaystyle U_n(x) = \sum_{k=1}^{n} k x^k\).

1. Justifier que \(\displaystyle U_n(x) = \sum_{1 \leqslant j \leqslant k \leqslant n} x^k\).
2. Intervertir les sommes et en déduire que \(\displaystyle U_n(x) = \frac{1}{1-x}\left(\frac{x(1 – x^n)}{1-x} – n x^{n+1}\right)\).
3. Montrer que \(U_n(2) = (n-1)2^{n+1} + 2\).
4. Retrouver ce résultat par télescopage : déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(k2^k = (ak + b)2^{k+1} – (a(k-1) + b)2^k\) pour tout \(k\).
5. Calculer \(U_n\!\left(\frac{1}{2}\right)\) et sa limite.
6. Calculer enfin \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\, 3^{k-1}\).

Pour aller plus loin

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