QCM : Formules de trigonométrie en maths sup (MPSI)

Réponse B.

La formule d’addition donne \(\cos\frac{3\pi}{2}\cos x-\sin\frac{3\pi}{2}\sin x\). Or \(\cos\frac{3\pi}{2}=0\) et \(\sin\frac{3\pi}{2}=-1\), donc il reste \(\sin x\). Le piège \(-\sin x\) oublie le signe moins de la formule d’addition. Quant à \(\pm\cos x\), ils confondent avec un décalage de \(\pi\) ou de \(2\pi\). En effet, un décalage d’un quart de tour échange toujours sinus et cosinus.

Réponse C.

La tangente est \(\pi\)-périodique, donc \(\tan\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\tan\left(-\frac{2\pi}{3}+\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\). On peut aussi noter que sinus et cosinus de cet angle sont tous deux négatifs, ce qui rend le quotient positif. Le piège \(-\sqrt3\) applique l’imparité sans tenir compte de la période. De même, les valeurs en \(\frac{\sqrt3}{3}\) correspondent à l’angle \(\frac{\pi}{6}\).

Réponse C.

On calcule \(\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}=-\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\). Cela donne \(-\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\), environ \(-0{,}97\), ce qui est cohérent avec un angle proche de \(\pi\). Le piège positif oublie que l’angle est dans le deuxième quadrant. Celui en \(\sqrt2-\sqrt6\) met un plus dans la formule du cosinus. Enfin, le dénominateur \(2\) donne une valeur inférieure à \(-1\).

Réponse A.

On a \(\cos^2\frac{\pi}{8}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{2+\sqrt2}{4}\). Comme \(\cos\frac{\pi}{8}>0\), on prend la racine positive. Le piège \(\sqrt{2-\sqrt2}\) correspond à \(\sin\frac{\pi}{8}\), car il vient de \(1-\cos\frac{\pi}{4}\). Le dénominateur \(4\) oublie de prendre la racine de \(4\). Enfin, \(\frac{1+\sqrt2}{2}\) dépasse \(1\) : ce n’est donc pas un cosinus.

Réponse C.

Sur le cercle, le sinus vaut \(-\frac{\sqrt2}{2}\) en \(-\frac{\pi}{4}\) et en \(-\frac{3\pi}{4}\). Il est plus petit entre ces deux points, et plus grand partout ailleurs. Ainsi, dans \([-\pi,\pi]\), il faut garder les deux morceaux extérieurs. Le piège qui commence en \(-\frac{\pi}{4}\) seulement oublie le morceau proche de \(-\pi\). L’intervalle central résout l’inéquation contraire. Enfin, la borne \(\frac{5\pi}{4}\) sort de l’intervalle d’étude.

Réponse D.

Pour \(|x|\le1\), l’inégalité vient des accroissements finis appliqués au sinus, dont la dérivée est bornée par \(1\). Pour \(|x|>1\), elle est évidente puisque \(|\sin x|\le1\). En revanche, \(\sin x\le x\) échoue pour \(x<0\), par exemple en \(x=-1\). Par ailleurs, la minoration en \(\frac{2}{\pi}\) n’est vraie que pour \(|x|\le\frac{\pi}{2}\), car elle échoue en \(x=\pi\). La majoration en \(\frac{2}{\pi}\) échoue près de \(0\).

Réponse B.

La somme de deux sinus vaut deux fois le sinus de la demi-somme multiplié par le cosinus de la demi-différence. Ici, la demi-somme vaut \(4x\) et la demi-différence vaut \(x\). Le piège \(2\cos4x\sin x\) est en réalité la différence \(\sin5x-\sin3x\). Celui en \(8x\) oublie de diviser par \(2\). Enfin, un produit de deux sinus provient d’une différence de cosinus, pas d’une somme de sinus.

Réponse D.

En ajoutant \(\sin(x+3x)\) et \(\sin(x-3x)\), les termes croisés s’éliminent et il reste \(2\sin x\cos3x\). Or \(\sin(-2x)=-\sin2x\), d’où le signe moins. Le piège \(\sin4x+\sin2x\) oublie l’imparité du sinus. Le facteur \(\frac12\) ne s’applique pas ici, car le produit est déjà multiplié par \(2\). Enfin, \(\cos2x-\cos4x\) vaut \(2\sin3x\sin x\).

Réponse D.

L’égalité \(\sin a=\sin b\) équivaut à \(a\equiv b\) ou \(a\equiv\pi-b\) modulo \(2\pi\). La première condition donne \(x\equiv0\ [2\pi]\). La seconde donne \(3x\equiv\pi\ [2\pi]\), donc \(x\equiv\frac{\pi}{3}\ \left[\frac{2\pi}{3}\right]\). Le piège en \(\frac{\pi}{3}+2k\pi\) oublie de diviser la période par \(3\) et perd ainsi \(x=\pi\). De même, garder une seule famille oublie l’autre cas d’égalité.

Réponse A.

La formule d’addition donne un numérateur \(4+\frac53=\frac{17}{3}\) et un dénominateur \(1-\frac{20}{3}=-\frac{17}{3}\), donc \(\tan(a+b)=-1\). De plus, \(a+b\) est dans \(]0,\pi[\), où seule la mesure \(\frac{3\pi}{4}\) a cette tangente. Le piège \(-\frac{\pi}{4}\) prend l’arctangente sans regarder l’intervalle. De même, \(\frac{5\pi}{4}\) dépasse \(\pi\). Enfin, \(\frac{\pi}{4}\) oublie le signe moins du dénominateur.

Réponse A.

On écrit \(\sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}=2u\cos^2\frac{t}{2}\). Ensuite, l’identité \(1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\) appliquée à \(\theta=\frac{t}{2}\) donne le résultat. Le piège \(\frac{2u}{1-u^2}\) est l’expression de \(\tan t\). De son côté, \(\frac{1-u^2}{1+u^2}\) exprime \(\cos t\). Enfin, l’oubli du facteur \(2\) de la duplication donne \(\frac{u}{1+u^2}\).

Réponse B.

Ici \(R=\sqrt{1+3}=2\) et \(\varphi=\frac{\pi}{3}\), donc l’équation devient \(\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\). Ainsi \(x-\frac{\pi}{3}\equiv\pm\frac{\pi}{4}\ [2\pi]\). Le piège avec des signes moins prend \(\varphi=-\frac{\pi}{3}\). Garder une seule solution oublie le signe \(\pm\) du cosinus. Enfin, la période \(\pi\) ajoute des valeurs fausses, comme \(\frac{13\pi}{12}\).