Dérivées partielles et gradient en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Dérivées partielles de trois fonctions

On considère les fonctions \(f_1(x,y)=x^3y^2-4xy+7\) et \(f_2(x,y)=\sin(x^2y)\) sur \(\mathbb{R}^2\), ainsi que \(f_3(x,y)=\dfrac{x}{1+x^2+y^2}\).

1. Justifier que ces trois fonctions sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Calculer leurs dérivées partielles.
3. Calculer \(\nabla f_1(1,-1)\), \(\nabla f_2(1,\pi)\) et \(\nabla f_3(1,1)\).

Exercice 2 – Un demi-plan ouvert

On note \(U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x+2y>1\}\) et \(F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x\geqslant 0\}\).

1. Montrer que \(|h+2k|\leqslant\sqrt{5}\,\|(h,k)\|\) pour tous réels \(h,k\).
2. Soit \((a,b)\in U\) et \(r=(a+2b-1)/\sqrt{5}\). Montrer que \(B\bigl((a,b),r\bigr)\subset U\). Conclure.
3. Montrer que \(F\) n’est pas un ouvert.
4. Montrer que \(U\cap\{(x,y),\ y<3\}\) est un ouvert.

Exercice 3 – Plan tangent et valeur approchée

Soit \(f(x,y)=x^2+3xy-y^3\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Donner une équation du plan tangent au graphe de \(f\), au-dessus du point \((1,1)\).
2. En déduire une valeur approchée de \(f(1{,}02\,;\,0{,}97)\), puis la comparer à la valeur exacte.

Exercice 4 – Dérivée selon un vecteur et plus forte pente

Soit \(f(x,y)=x\,e^{y}+y^2\) sur \(\mathbb{R}^2\) et \(a=(2,0)\).

1. Calculer \(\nabla f(a)\).
2. Calculer la dérivée de \(f\) en \(a\) selon le vecteur \(v=(3,-1)\), d’abord par la définition, puis par le gradient.
3. Déterminer le vecteur unitaire \(w\) pour lequel \(D_wf(a)\) est maximale, ainsi que cette valeur maximale.
4. Déterminer les vecteurs unitaires selon lesquels la dérivée de \(f\) en \(a\) est nulle.

Exercice 5 – Dérivée le long du cercle unité

Soit \(f(x,y)=x^2y-y^3\) et \(\varphi(t)=f(\cos t,\sin t)\) pour \(t\in\mathbb{R}\).

1. Calculer \(\varphi^{\prime}(t)\) par la règle de la chaîne.
2. Retrouver ce résultat en dérivant directement l’expression de \(\varphi(t)\).
3. Déterminer les valeurs de \(t\in[0,\pi]\) pour lesquelles \(\varphi^{\prime}(t)=0\).

Exercice 6 – Minimum d’un trinôme à deux variables

Soit \(f(x,y)=x^2+2y^2-2x+8y+1\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminer les points critiques de \(f\).
2. Écrire \(f\) sous forme canonique, comme somme de carrés et d’une constante.
3. En déduire que \(f\) admet un minimum global, et préciser sa valeur. Admet-elle un maximum ?

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Dérivées dans toutes les directions sans continuité

On pose \(f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}\) si \((x,y)\neq(0,0)\), et \(f(0,0)=0\).

1. Calculer \(\partial_1f(0,0)\) et \(\partial_2f(0,0)\).
2. Soit \(v=(p,q)\) un vecteur non nul. Montrer que \(f\) admet en \((0,0)\) une dérivée selon \(v\), et la calculer.
3. Calculer \(f(y^2,y)\) pour \(y\neq 0\). La fonction \(f\) est-elle continue en \((0,0)\) ?
4. La fonction \(f\) est-elle de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) ? Expliquer pourquoi la dérivée selon \(v\) n’est pas de la forme \(\langle w,v\rangle\).

Exercice 8 – Une fonction recollée de classe C1

On pose \(f(x,y)=\dfrac{x^3y}{x^2+y^2}\) si \((x,y)\neq(0,0)\), et \(f(0,0)=0\).

1. Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) privé de l’origine, et calculer ses dérivées partielles.
2. Calculer \(\partial_1f(0,0)\) et \(\partial_2f(0,0)\) à l’aide de taux d’accroissement.
3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2\).

Exercice 9 – Gradient en coordonnées polaires

Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) et \(g(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)\) pour \(r>0\) et \(\theta\in\mathbb{R}\).

1. Exprimer \(\partial_rg\) et \(\partial_\theta g\) à l’aide des dérivées partielles de \(f\).
2. En déduire \(\partial_1f\) et \(\partial_2f\) en fonction de \(\partial_rg\) et \(\partial_\theta g\).
3. Montrer que \(\|\nabla f\|^2=(\partial_rg)^2+\dfrac{1}{r^2}(\partial_\theta g)^2\) au point \((r\cos\theta,r\sin\theta)\).
4. Application : calculer \(\|\nabla f(x,y)\|\) pour \(f(x,y)=(x^2+y^2)^{3/2}\) par les deux méthodes.

Exercice 10 – Équation de transport avec second membre

Il s’agit de déterminer toutes les fonctions \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) qui vérifient \(3\,\partial_1f(x,y)-\partial_2f(x,y)=6x\) pour tout \((x,y)\).

1. Montrer que \((x,y)\mapsto(u,v)=(x,x+3y)\) est une bijection de \(\mathbb{R}^2\) sur lui-même et expliciter sa réciproque.
2. On pose \(f(x,y)=g(x,x+3y)\). Traduire l’équation en une équation sur \(g\).
3. Résoudre cette équation, puis donner toutes les solutions \(f\).
4. Déterminer la solution qui vérifie \(f(0,y)=y^2\) pour tout réel \(y\).

Exercice 11 – Équation radiale sur un demi-plan

On note \(U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x>0\}\) et \(V=\,]0,+\infty[\,\times\,]-\pi/2,\pi/2[\). Le but est de trouver toutes les fonctions \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(U\) vérifiant \(x\,\partial_1f+y\,\partial_2f=\sqrt{x^2+y^2}\).

1. Établir que \((r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)\) réalise une bijection entre \(V\) et \(U\), puis vérifier que sa réciproque est \((x,y)\mapsto\bigl(\sqrt{x^2+y^2},\arctan(y/x)\bigr)\).
2. On pose \(g(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)\). Montrer que l’équation équivaut à \(\partial_rg=1\) sur \(V\).
3. En déduire toutes les solutions, et les écrire à l’aide d’une fonction de \(y/x\).

Exercice 12 – Points critiques d’une fonction à variables séparées

Soit \(f(x,y)=x^3-3x+y^2-4y\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminer les points critiques de \(f\).
2. Montrer que \(f\) admet un minimum local en l’un d’eux. Ce minimum est-il global ?
3. Montrer que l’autre point critique ne porte pas d’extremum.

Exercice 13 – Extremums d’une fonction radiale

Soit \(f(x,y)=(x^2+y^2)\,e^{-(x^2+y^2)}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Calculer le gradient de \(f\) et déterminer ses points critiques.
2. Étudier la fonction \(\phi : t\mapsto t\,e^{-t}\) sur \([0,+\infty[\).
3. En déduire les extremums globaux de \(f\) et les points où ils sont atteints.

Exercice 14 – Gradient orthogonal à une ellipse

Soit \(f(x,y)=x^2+4y^2\). La ligne de niveau 8 de \(f\) est l’ellipse \(\mathcal{E}\) représentée ci-dessous, avec le point \(A=(2,1)\).

1. Vérifier que \(A\in\mathcal{E}\) et calculer \(\nabla f(A)\).
2. Vérifier que \(\gamma(t)=(2\sqrt{2}\cos t,\sqrt{2}\sin t)\) paramètre \(\mathcal{E}\), et trouver \(t_0\) tel que \(\gamma(t_0)=A\).
3. Montrer, par la règle de la chaîne, que \(\nabla f(\gamma(t))\) est orthogonal à \(\gamma^{\prime}(t)\) pour tout \(t\).
4. En déduire une équation de la tangente à \(\mathcal{E}\) en \(A\).

Exercice 15 – Fonctions invariantes par rotation

Le but est de décrire les fonctions \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) vérifiant \(y\,\partial_1f(x,y)-x\,\partial_2f(x,y)=0\) pour tout \((x,y)\).

1. Soit \(\phi\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\). Vérifier que \(f(x,y)=\phi(x^2+y^2)\) est solution.
2. Réciproquement, soit \(f\) une solution et \(g(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)\) sur \(]0,+\infty[\,\times\mathbb{R}\). Calculer \(\partial_\theta g\).
3. En déduire que \(f(x,y)=f\bigl(\sqrt{x^2+y^2},0\bigr)\) pour tout \((x,y)\), et interpréter géométriquement.

Pour approfondir

Exercice 16 – Relation d’Euler pour les fonctions homogènes

On note \(U\) le plan privé de l’origine. On fixe un réel \(\alpha\) et une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(U\). La fonction \(f\) est qualifiée d’homogène de degré \(\alpha\) lorsque l’égalité \(f(tx,ty)=t^\alpha f(x,y)\) a lieu quels que soient \(t>0\) et \((x,y)\in U\).

1. Dans cette question, \(f\) est supposée homogène. En dérivant par rapport à \(t\), montrer que \(x\,\partial_1f+y\,\partial_2f=\alpha f\) sur \(U\).
2. Réciproquement, on suppose cette relation vraie. Pour \((x,y)\in U\) fixé, étudier \(\psi(t)=t^{-\alpha}f(tx,ty)\) sur \(]0,+\infty[\) et conclure.
3. Vérifier la relation d’Euler sur \(f(x,y)=\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\), en précisant le degré.

Exercice 17 – Une équation aux dérivées partielles avec exponentielle

Le but est de décrire les fonctions \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) qui satisfont \(\partial_1f-\partial_2f=f\).

1. On introduit les nouvelles variables \(u=x+y\) et \(v=x-y\). Vérifier que c’est un changement de variables bijectif de \(\mathbb{R}^2\), puis traduire l’équation sur \(g\) définie par \(f(x,y)=g(x+y,x-y)\).
2. Pour \(u\) fixé, résoudre l’équation obtenue en la variable \(v\). On pourra étudier \(v\mapsto e^{-v/2}g(u,v)\).
3. En déduire toutes les solutions \(f\), puis vérifier qu’elles conviennent.
4. Déterminer la solution telle que \(f(x,x)=\cos x\) pour tout réel \(x\).

Exercice 18 – Produit de trois facteurs positifs sur un triangle

Soit \(f(x,y)=xy(3-x-y)\) sur \(\mathbb{R}^2\), et \(T=\{(x,y),\ x>0,\ y>0,\ x+y<3\}\). On admet l’inégalité \(abc\leqslant\bigl(\frac{a+b+c}{3}\bigr)^3\) pour \(a,b,c\) positifs, avec égalité si et seulement si \(a=b=c\).

1. Montrer que \(T\) est un ouvert.
2. Déterminer les quatre points critiques de \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\).
3. Montrer que \(f\) admet sur \(T\) un maximum global, atteint en un seul point.
4. Montrer que \(f\) n’admet pas d’extremum local en \((0,0)\).
5. La fonction \(f\) admet-elle un minimum sur \(T\) ?

Exercice 19 – Problème – Droite des moindres carrés

Soit \(n\geqslant 2\) et \((x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)\) des points du plan ; on suppose qu’au moins deux abscisses \(x_i\) diffèrent. Le but est de trouver la droite d’équation \(y=ax+b\) qui rend minimale la quantité

\[S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}(y_i-a\,x_i-b)^2.\]

1. Justifier que \(S\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) et calculer ses dérivées partielles.
2. Montrer que \((a,b)\) est un point critique de \(S\) si et seulement si \(a\sum x_i^2+b\sum x_i=\sum x_iy_i\) et \(a\sum x_i+nb=\sum y_i\).
3. Établir l’inégalité stricte \(n\sum x_i^2-\bigl(\sum x_i\bigr)^2>0\) en appliquant Cauchy-Schwarz dans \(\mathbb{R}^n\). Justifier alors que \(S\) possède un seul point critique, noté \((a_0,b_0)\).
4. On pose \(e_i=y_i-a_0x_i-b_0\). Montrer que \(S(a_0+h,b_0+k)=S(a_0,b_0)+\sum_{i}(hx_i+k)^2\). Conclure.
5. Montrer que la droite obtenue passe par le point moyen \((\bar{x},\bar{y})\) des données.
6. Application : traiter le cas des quatre points \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,2)\) et \((3,4)\), représentés ci-dessous. Calculer aussi la valeur minimale de \(S\).

Pour aller plus loin

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