Quiz fonctions de deux variables en MPSI

Quiz fonctions de deux variables en maths sup (MPSI)

Dix réflexes à acquérir sur les fonctions de deux variables : vecteur des dérivées partielles, approximation affine, dérivation composée et recherche des points critiques, sans tomber dans les pièges classiques.

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz express fait tourner les calculs de base du calcul différentiel dans \(\mathbb{R}^2\) : gradient en un point, équation du plan tangent à une surface, dérivée d'une fonction composée avec la règle de la chaîne, dérivée dans une direction donnée. Il vérifie aussi que tu sais distinguer un point critique d'un vrai extremum et que tu n'oublies pas que la condition nécessaire ne vaut que sur un ouvert.

Fais-le en cinq minutes avant un TD ou une colle sur les points critiques, puis refais à la main chaque question ratée. Les exemples sont volontairement simples : l'objectif est d'écrire les dérivées partielles sans hésiter, pour garder ton énergie sur la partie délicate des exercices, comme l'étude au bord d'un domaine ou une équation aux dérivées partielles résolue par changement de variables. Avant un partiel, enchaîne avec une recherche complète d'extremums.

Aller plus loin sur fonctions de deux variables

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Questions fréquentes : fonctions de deux variables en MPSI

Un point critique est-il forcément un extremum local ?

Non. En \((0,0)\), la fonction \((x,y) \mapsto x^2-y^2\) a un gradient nul mais prend des valeurs positives et négatives tout près : c'est un point col.

Pourquoi l'ouvert est-il indispensable dans la condition d'extremum ?

Sur un bord, la fonction peut atteindre un extremum sans que son gradient s'annule, par exemple \(x \mapsto x\) sur \([0,1]\) en 0. On étudie donc l'intérieur et le bord séparément.

Une expression en x et y peut-elle tendre vers deux valeurs différentes en approchant l'origine ?

Oui selon le chemin suivi, et c'est alors la preuve qu'elle n'a pas de limite. Teste au moins deux droites, comme \(y=0\) et \(y=x\), avant de conclure.

Quiz fonctions de deux variables en maths sup (MPSI)

Gradient de \(f(x,y) = xy^3\) au point \((2,1)\) ?

Point critique de \(f(x,y) = x^2+y^2-4x+2y\) ?

Le long de la droite \(y=x\), que vaut \(\dfrac{xy}{x^2+y^2}\) pour \(x \neq 0\) ?

Plan tangent à la surface \(z = xy\) au point \((1,2,2)\) ?

\(f\) de classe \(C^1\). Dérivée de \(f\) en \(a\) selon le vecteur \(h\) ?

\(g(t) = f(t^2, 3t)\). Que vaut \(g^{\prime}(t)\) ?

Nature de \((0,0)\) pour \(f(x,y) = x^2 - y^2\) ?

Un extremum local de \(f\) de classe \(C^1\) annule le gradient si le domaine est :

En \(a\) avec \(\nabla f(a) \neq 0\), direction de plus forte croissance de \(f\) ?

\(f(x,y) = \varphi(x-y)\), \(\varphi\) dérivable. Que vaut \(\partial_x f + \partial_y f\) ?

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