Quiz équations différentielles linéaires, réflexes en MPSI

\(y_1\) résout \(y^{\prime\prime} + y = x\) et \(y_2\) résout \(y^{\prime\prime} + y = e^{x}\). Que résout \(y_1 + y_2\) ?

A.\(y^{\prime\prime} + y = xe^{x}\)B.\(y^{\prime\prime} + 2y = x + e^{x}\)C.\(2y^{\prime\prime} + 2y = x + e^{x}\)D.\(y^{\prime\prime} + y = x + e^{x}\)

Avec un second membre non nul, l'ensemble des solutions d'une équation linéaire est :

A.un espace vectoriel de solutionsB.une solution particulière plus les solutions homogènesC.la somme de deux solutions particulièresD.réduit à une seule fonction

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz rapide te fait travailler les réflexes de base sur les équations différentielles linéaires du premier et du second ordre : lecture de l'équation caractéristique, cas de la racine double ou des racines complexes, forme de la solution particulière selon le second membre, et rôle de la condition initiale. Chaque question se traite de tête en moins d'une minute, sans poser de long calcul.

Utilise-le juste avant une colle ou un TD pour repérer ce qui coince encore : si tu hésites sur une réponse, reprends la méthode en quatre étapes (homogène, particulière, somme, constantes) et refais l'exemple sur une feuille. La veille d'un partiel, refais le quiz jusqu'à obtenir dix sur dix : les distracteurs reprennent les erreurs les plus fréquentes, comme oublier de multiplier par \(x\) quand le second membre est résonant ou se tromper de signe dans l'exponentielle.

Aller plus loin sur équations différentielles linéaires, réflexes

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Questions fréquentes : équations différentielles linéaires, réflexes en MPSI

Pourquoi multiplie-t-on parfois la solution particulière cherchée par x ?

Quand l'exposant du second membre est racine de l'équation caractéristique, la forme naïve est déjà solution de l'équation homogène et donne zéro. On multiplie alors par \(x\) (racine simple) ou par \(x^2\) (racine double).

Combien de conditions faut-il pour un problème de Cauchy du second ordre ?

Il en faut deux : la valeur de la fonction et celle de sa dérivée au même point. Elles fixent les deux constantes de la solution générale, et la solution est alors unique.

La variation de la constante marche-t-elle toujours au premier ordre ?

Oui, dès que les coefficients sont continus sur un intervalle et que le coefficient de la dérivée ne s'annule pas. Elle se ramène à un calcul de primitive, parfois long mais toujours possible en théorie.

Quiz équations différentielles linéaires, réflexes en maths sup (MPSI)

Solutions réelles de \(y^{\prime} + 5y = 0\) ?

Fonction constante solution de \(y^{\prime} + 4y = 12\) ?

Solution de \(y^{\prime} = -2y\) vérifiant \(y(0) = 7\) ?

Pour \(y^{\prime} + a(x)y = b(x)\), la variation de la constante cherche \(y\) sous la forme (\(A\) primitive de \(a\)) :

Solutions réelles de \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 10y = 0\) ?

Solutions réelles de \(y^{\prime\prime} - 8y^{\prime} + 16y = 0\) ?

Forme de solution particulière à chercher pour \(y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = e^{2x}\) ?

Forme de solution particulière à chercher pour \(y^{\prime\prime} + y = \cos x\) ?