Projecteurs, symétries et hyperplans en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une matrice de projecteur dans le plan

Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(A=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}\) dans la base canonique.

1. Calculer \(A^2\) et en déduire que \(u\) est un projecteur.
2. Déterminer \(\mathrm{Im}\,u\) et \(\mathrm{Ker}\,u\), puis décrire \(u\) par une phrase géométrique.
3. Décomposer le vecteur \(v=(3,1)\) selon \(\mathrm{Im}\,u\oplus\mathrm{Ker}\,u\).

La figure situe les deux droites en jeu et le vecteur \(v\).

Exercice 2 – Le projecteur complémentaire

Soit \(p\) un projecteur d’un espace vectoriel \(E\), et \(q=\mathrm{id}_E-p\).

1. Montrer que \(q\) est un projecteur.
2. Montrer que \(\mathrm{Im}\,q=\mathrm{Ker}\,p\) et \(\mathrm{Ker}\,q=\mathrm{Im}\,p\).
3. Calculer \(p\circ q\) et \(q\circ p\).

Exercice 3 – Formes coordonnées d’une base non canonique

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(e_1=(1,0,0)\), \(e_2=(1,1,0)\) et \(e_3=(1,1,1)\).

1. Montrer que \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
2. Déterminer les formes coordonnées \(e_1^{*}\), \(e_2^{*}\), \(e_3^{*}\) relatives à \(\mathcal{B}\).
3. En déduire les coordonnées de \(w=(4,-1,3)\) dans \(\mathcal{B}\), puis vérifier le résultat.

Exercice 4 – Un hyperplan de polynômes

Dans \(\mathbb{R}_2[X]\), on considère \(H=\{P\in\mathbb{R}_2[X]\mid P(1)+P^{\prime}(0)=0\}\).

1. Montrer que \(\psi:P\mapsto P(1)+P^{\prime}(0)\) est une forme linéaire non nulle.
2. En déduire que \(H\) est un hyperplan et donner sa dimension.
3. Déterminer une base de \(H\).

Exercice 5 – Un système de deux équations dans l’espace

On considère le système \(\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\x+2y+3z=2\end{array}\right.\) d’inconnue \((x,y,z)\in\mathbb{R}^3\).

1. Écrire ce système sous la forme \(u(X)=b\) avec \(u\) linéaire de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\).
2. Déterminer \(\mathrm{Ker}\,u\) et une solution particulière.
3. En déduire l’ensemble des solutions et préciser sa nature géométrique.

Exercice 6 – Sous-espaces affines ou non

Dire si chacun des ensembles suivants est un sous-espace affine. Le cas échéant, donner un point et la direction.

1. \(\mathcal{A}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x-y+z=3\}\).
2. \(\mathcal{B}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid xy=0\}\).
3. \(\mathcal{C}=\{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f^{\prime}+2f=4\}\).
4. \(\mathcal{D}=\{P\in\mathbb{R}_2[X]\mid P(0)=1\ \text{et}\ P(1)=3\}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Projeter sur un plan de l’espace le long d’une droite

On travaille dans \(\mathbb{R}^3\). Soit \(F\) le plan \(x-y+2z=0\), et soit \(G=\mathbb{R}w\) avec \(w=(1,1,1)\).

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\).
2. Soit \(p\) la projection sur \(F\) parallèlement à \(G\). Pour \(v=(x,y,z)\), exprimer \(p(v)\) en fonction de \(x\), \(y\), \(z\), puis donner la matrice \(P\) de \(p\) dans la base canonique.
3. Écrire l’expression de la symétrie \(s\) par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\) et donner sa matrice \(S\).
4. Vérifier que \(P^2=P\) et \(S^2=I_3\).

Exercice 8 – Une symétrie sur les matrices carrées d’ordre 2

Sur \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on définit \(u(M)=\mathrm{tr}(M)\,I_2-M\).

1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et que \(u\circ u=\mathrm{id}\).
2. Déterminer les éléments caractéristiques de la symétrie \(u\) et leurs dimensions.
3. Donner l’expression du projecteur associé \(p=\frac{1}{2}(u+\mathrm{id})\).
4. Pour \(M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), calculer \(M\,u(M)\). Que remarque-t-on ? Illustrer avec \(M=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\end{pmatrix}\).

Exercice 9 – Symétrie de polynômes autour d’un demi

Sur \(E=\mathbb{R}_3[X]\), on pose \(s(P)=P(1-X)\).

1. Montrer que \(s\) est une symétrie de \(E\).
2. Calculer \(s\big((X-\frac{1}{2})^k\big)\) pour \(k\in\{0,1,2,3\}\). En déduire une base de \(\mathrm{Ker}(s-\mathrm{id})\) et une base de \(\mathrm{Ker}(s+\mathrm{id})\).
3. Décomposer \(P=X^3\) selon ces deux sous-espaces.

Exercice 10 – Un projecteur d’interpolation

Sur \(E=\mathbb{R}_3[X]\), on définit \(p(P)=P(0)+\big(P(1)-P(0)\big)X\).

1. Montrer que \(p\) est linéaire et que \(p(Q)=Q\) pour tout \(Q\in\mathbb{R}_1[X]\).
2. En déduire que \(p\) est un projecteur, puis déterminer son image.
3. Montrer que \(\mathrm{Ker}\,p=\{X(X-1)(\alpha+\beta X)\mid(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\}\).
4. Calculer \(p(X^3-2X^2)\) et vérifier que \(X^3-2X^2-p(X^3-2X^2)\) appartient au noyau.

Exercice 11 – Équation d’un hyperplan engendré par trois vecteurs

Dans \(\mathbb{R}^4\), on pose \(u_1=(1,0,2,-1)\), \(u_2=(0,1,1,1)\), \(u_3=(1,1,0,2)\) et \(H=\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3)\).

1. Déterminer les formes \(\varphi(x,y,z,t)=ax+by+cz+dt\) qui s’annulent sur \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. En déduire que \((u_1,u_2,u_3)\) est libre et donner une équation de \(H\).
3. Le vecteur \((2,1,1,1)\) appartient-il à \(H\) ?

Exercice 12 – Deux équations pour un plan en dimension quatre

Dans \(\mathbb{R}^4\), soit \(F=\mathrm{Vect}\big((1,1,0,0),(0,1,1,1)\big)\).

1. Justifier que \(\dim F=2\) et préciser le nombre minimal d’équations nécessaires pour décrire \(F\).
2. Déterminer un système de deux équations linéaires indépendantes de \(F\).
3. Écrire \(F\) comme intersection de deux hyperplans.

Exercice 13 – Forme nulle sur une intersection de noyaux

Sur \(\mathbb{R}^3\), on considère \(\varphi_1(x,y,z)=x+y+z\), \(\varphi_2(x,y,z)=x-z\), \(\psi(x,y,z)=3x+2y+z\) et \(\chi(x,y,z)=x+y-z\).

1. Déterminer \(D=\mathrm{Ker}\,\varphi_1\cap\mathrm{Ker}\,\varphi_2\) et sa dimension.
2. Vérifier que \(\psi\) s’annule sur \(D\), puis écrire \(\psi\) comme combinaison linéaire de \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\).
3. Montrer que \(\chi\) n’est pas combinaison linéaire de \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\).

Exercice 14 – Équation aux différences sur les polynômes

On note \(\Delta\) l’application de \(\mathbb{R}[X]\) dans lui-même définie par \(\Delta(P)=P(X+1)-P(X)\).

1. Montrer que \(\Delta\) est linéaire et que son noyau est l’ensemble des polynômes constants.
2. Vérifier que \(X^2+2X\) est solution de \(\Delta(P)=2X+3\), puis déterminer toutes les solutions.
3. Déterminer la solution \(P\) telle que \(P(0)=5\).
4. En déduire, pour \(n\geqslant 1\), une expression simple de \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(2k+3)\).

Exercice 15 – Somme de deux projecteurs

Soit \(p\) et \(q\) deux projecteurs d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\).

1. Montrer que \(p+q\) est un projecteur si et seulement si \(p\circ q+q\circ p=0\).
2. Dans ce cas, composer à gauche puis à droite par \(p\) pour montrer que \(p\circ q=q\circ p=0\).
3. En déduire que \(p+q\) est un projecteur si et seulement si \(p\circ q=q\circ p=0\).
4. Sous cette condition, montrer que \(\mathrm{Im}(p+q)=\mathrm{Im}\,p\oplus\mathrm{Im}\,q\) et \(\mathrm{Ker}(p+q)=\mathrm{Ker}\,p\cap\mathrm{Ker}\,q\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Projecteurs de même image

Soit \(p\) et \(q\) deux projecteurs d’un espace vectoriel \(E\).

1. Montrer que \(\mathrm{Im}\,p=\mathrm{Im}\,q\) si et seulement si \(p\circ q=q\) et \(q\circ p=p\).
2. On suppose \(\mathrm{Im}\,p=\mathrm{Im}\,q\). Soit \(\lambda\in\mathbb{R}\) et \(r=\lambda p+(1-\lambda)q\). Montrer que \(r\) est un projecteur d’image \(\mathrm{Im}\,p\).
3. Application dans \(\mathbb{R}^2\) : \(p\) et \(q\) ont pour matrices \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}\). Vérifier que ce sont des projecteurs de même image, puis déterminer le noyau de \(r\) en fonction de \(\lambda\).

Exercice 17 – Dimension d’une intersection d’hyperplans

Soit \(E\) de dimension \(n\), et \(\varphi_1,\dots,\varphi_m\) des formes linéaires sur \(E\). On pose \(\Phi(x)=\big(\varphi_1(x),\dots,\varphi_m(x)\big)\) et \(F=\bigcap_{i=1}^{m}\mathrm{Ker}\,\varphi_i\).

1. Montrer que \(\Phi\in\mathcal{L}(E,\mathbb{K}^m)\), que \(\mathrm{Ker}\,\Phi=F\) et que \(\dim F\geqslant n-m\).
2. On suppose que \(\sum_{i}\lambda_i\varphi_i=0\) avec \((\lambda_1,\dots,\lambda_m)\neq 0\). Montrer que \(\Phi\) n’est pas surjective.
3. Réciproquement, on suppose \(\Phi\) non surjective. Justifier que \(\mathrm{Im}\,\Phi\) est contenue dans un hyperplan de \(\mathbb{K}^m\), d’équation \(\lambda_1y_1+\dots+\lambda_my_m=0\), et en déduire que \((\varphi_1,\dots,\varphi_m)\) est liée.
4. Conclure : \(\dim F=n-m\) si et seulement si la famille \((\varphi_i)\) est libre.
5. Application : dans \(\mathbb{R}^4\), déterminer la dimension de l’intersection des hyperplans d’équations \(x+y=0\), \(y+z=0\) et \(x-z=0\).

Exercice 18 – Problème : endomorphismes de rang un et projecteurs

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\geqslant 2\), \(a\in E\) non nul et \(\varphi\) une forme linéaire non nulle sur \(E\). On définit \(u(x)=\varphi(x)\,a\).

1. Montrer que \(u\in\mathcal{L}(E)\), puis déterminer \(\mathrm{Im}\,u\), \(\mathrm{Ker}\,u\) et le rang de \(u\).
2. Réciproquement, soit \(v\in\mathcal{L}(E)\) de rang \(1\). Montrer qu’il existe \(b\in E\) et une forme \(\psi\) telles que \(v(x)=\psi(x)\,b\) pour tout \(x\).
3. Montrer que \(u\circ u=\varphi(a)\,u\).
4. En déduire que \(u\) est un projecteur si et seulement si \(\varphi(a)=1\). Décrire alors \(u\) géométriquement.
5. On suppose \(\varphi(a)=0\). Montrer que \(u\circ u=0\), puis que \(\mathrm{id}_E+u\) est inversible et donner son inverse.
6. Application dans \(\mathbb{R}^3\) avec \(a=(1,2,-1)\) et \(\varphi(x,y,z)=x+y+3z\). Écrire la matrice \(U\) de \(u\), vérifier \(U^2=0\) et donner \((I_3+U)^{-1}\).
7. Toujours avec ce \(\varphi\), on prend \(b=(1,1,0)\). Déterminer la matrice de la projection sur \(\mathbb{R}b\) parallèlement au plan \(\mathrm{Ker}\,\varphi\), puis celle de la symétrie associée.

Pour aller plus loin

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