Quiz projections, réflexions et formes linéaires en MPSI

Quiz projections, réflexions et formes linéaires en maths sup (MPSI)

Dix questions express pour vérifier tes réflexes sur les projecteurs, les symétries, les hyperplans et la structure affine des solutions d'une équation linéaire.

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz court te fait réviser les automatismes du chapitre : reconnaître un projecteur grâce à la relation \(p \circ p = p\), passer d'un projecteur à la symétrie associée, trouver la dimension d'un hyperplan ou d'une intersection d'hyperplans, et décrire l'ensemble des solutions d'une équation \(u(x) = a\) comme un sous-espace affine. Chaque question se règle de tête, sans calcul long, à condition de connaître les bonnes définitions.

Fais-le avant une colle d'algèbre linéaire ou la veille d'un partiel : une erreur te signale immédiatement la notion à revoir dans le cours. Les mauvaises réponses proposées reprennent les confusions classiques, par exemple prendre l'image pour le noyau, oublier que la forme linéaire doit être non nulle ou confondre un ensemble affine avec un sous-espace vectoriel. Recommence jusqu'à faire un sans-faute.

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Questions fréquentes : projections, réflexions et formes linéaires en MPSI

Comment savoir rapidement si une application linéaire est un projecteur ?

On vérifie que \(p \circ p = p\), ou matriciellement que \(M^2 = M\). Le projecteur se fait alors sur son image, parallèlement à son noyau.

Pourquoi un ensemble de solutions de u(x) = a n'est-il pas un sous-espace vectoriel ?

Si \(a\) est non nul, le vecteur nul n'est pas solution, donc l'ensemble ne peut pas être un sous-espace vectoriel. C'est un sous-espace affine de direction \(\ker u\), ou l'ensemble vide.

Un hyperplan est-il toujours le noyau d'une forme linéaire ?

Oui : tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle, unique à un facteur multiplicatif non nul près. C'est ce qui permet de le décrire par une seule équation.

Quiz projections, réflexions et formes linéaires en maths sup (MPSI)

Si \(p\) est un projecteur de \(E\), les sous-espaces \(\ker p\) et \(\mathrm{Im}\,p\) sont :

Si \(p\) est un projecteur, que vaut \(p \circ (\mathrm{id} - p)\) ?

Symétrie par rapport à \(\mathrm{Im}\,p\) parallèlement à \(\ker p\), avec \(p\) projecteur :

Si \(p\) est un projecteur et \(p(x) = \lambda x\) avec \(x \neq 0\), alors \(\lambda\) appartient à :

Si \(s\) est une symétrie, que vaut \(s^{-1}\) ?

Dimension d'un hyperplan de \(\mathbb{R}_3[X]\) ?

Dans \(\mathbb{R}^6\), deux hyperplans distincts se coupent selon un sous-espace de dimension :

Lequel est un hyperplan de \(\mathbb{R}_2[X]\) ?

\(x_0\) est solution de \(u(x) = a\). L'ensemble de toutes les solutions est :

Pour que \(\ker \varphi\) soit un hyperplan, la forme linéaire \(\varphi\) doit être :

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

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