Quiz applications linéaires et dimensions en MPSI

Existe-t-il une application linéaire injective de \( \mathbb{R}^6 \) dans \( \mathbb{R}^4 \) ?

A.Oui, par exemple une projectionB.Non, son noyau serait au moins de dimension 2C.Oui, dès qu'elle est surjectiveD.Non, car 6 n'est pas multiple de 4

Si \( u \) et \( v \) sont des endomorphismes avec \( u\circ v=0 \), alors :

A.\( \mathrm{Im}\,u\subset\mathrm{Ker}\,v \)B.\( \mathrm{Ker}\,v\subset\mathrm{Im}\,u \)C.\( \mathrm{Ker}\,u\subset\mathrm{Im}\,v \)D.\( \mathrm{Im}\,v\subset\mathrm{Ker}\,u \)

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz express teste les réflexes sur les applications linéaires : lire la dimension d'un noyau à partir du rang, savoir qu'un endomorphisme injectif en dimension finie est bijectif, trouver un noyau en une ligne, ou traduire une composée nulle en inclusion entre image et noyau. Le théorème du rang revient dans presque chaque question, avec ses usages malins et son hypothèse indispensable.

Fais-le juste avant une colle d'algèbre linéaire ou un TD : l'objectif est un sans-faute rapide, car ces arguments doivent sortir sans hésitation à l'oral. Chaque correction apparaît immédiatement, ce qui te permet de noter l'argument exact qui te manquait. Avant un partiel, refais-le après avoir relu les démonstrations de ton cours, puis entraîne-toi sur un exercice complet où tu dois rédiger la justification par le rang plutôt que par un calcul de matrice.

Aller plus loin sur applications linéaires et dimensions

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Questions fréquentes : applications linéaires et dimensions en MPSI

Le théorème du rang marche-t-il si l'espace d'arrivée est de dimension infinie ?

Oui : seule la dimension finie de l'espace de départ est nécessaire. L'espace d'arrivée peut être quelconque, l'image étant alors automatiquement de dimension finie.

Pourquoi suffit-il de montrer l'injectivité pour un endomorphisme ?

En dimension finie, le théorème du rang donne rang égal à la dimension de l'espace dès que le noyau est nul, donc l'endomorphisme est aussi surjectif. Cela tombe en défaut en dimension infinie.

Comment trouver rapidement l'image d'une application linéaire ?

On prend l'image d'une base de l'espace de départ : elle engendre l'image. On extrait ensuite une famille libre, et le théorème du rang permet de contrôler la dimension obtenue.

Quiz applications linéaires et dimensions en maths sup (MPSI)

Une application linéaire de \( \mathbb{R}^5 \) dans \( \mathbb{R}^3 \) est de rang 3. La dimension de son noyau vaut :

Un endomorphisme injectif d'un espace de dimension finie est :

Dimension de \( \mathcal{L}(\mathbb{R}^4,\mathbb{R}^2) \) :

Existe-t-il une application linéaire injective de \( \mathbb{R}^6 \) dans \( \mathbb{R}^4 \) ?

Le noyau de \( f(x,y,z)=(x-z,\,y+2z) \) est la droite engendrée par :

Pour écrire \( \dim E=\mathrm{rg}\,f+\dim\mathrm{Ker}\,f \) avec \( f\in\mathcal{L}(E,F) \), il faut :

Si \( u \) et \( v \) sont des endomorphismes avec \( u\circ v=0 \), alors :

Un endomorphisme \( u \) de \( \mathbb{R}^7 \) peut-il vérifier \( \mathrm{Im}\,u=\mathrm{Ker}\,u \) ?

Une application linéaire définie sur \( E \) est entièrement déterminée par :

Rang de la dérivation \( D:P\mapsto P^{\prime} \) sur \( \mathbb{R}_4[X] \) :

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

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