Quiz familles, bases et dimensions en MPSI

Quiz familles, bases et dimensions en maths sup (MPSI)

Dix questions éclair pour vérifier que tu sais compter des dimensions, reconnaître une base sans calcul inutile et utiliser Grassmann au bon moment.

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz rapide cible les réflexes de l'algèbre linéaire en dimension finie : donner la dimension d'un espace usuel, majorer ou minorer celle d'une intersection avec la formule de Grassmann, calculer le rang d'une petite famille et reconnaître une base par un simple argument de cardinal. Tu y croises aussi les polynômes à degrés échelonnés, les coordonnées dans une base non canonique et la caractérisation d'une somme directe.

Chaque question se traite de tête en moins d'une minute. Lance-le avant une colle pour repérer les automatismes fragiles, ou la veille d'un partiel pour te rassurer. Quand tu te trompes, reprends la justification complète : c'est souvent une hypothèse oubliée, comme la dimension finie ou le nombre exact de vecteurs, qui fait basculer la réponse. Vise ensuite un sans-faute chronométré.

Aller plus loin sur familles, bases et dimensions

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Questions fréquentes : familles, bases et dimensions en MPSI

Pourquoi suffit-il de montrer qu'une famille est libre pour avoir une base ?

Si l'espace est de dimension n et que la famille compte exactement n vecteurs, être libre équivaut à être génératrice. Sans cette égalité de cardinal, l'argument ne marche pas.

La formule de Grassmann marche-t-elle pour trois sous-espaces ?

Non, il n'existe pas de formule analogue simple pour trois sous-espaces. Il faut regrouper deux d'entre eux puis appliquer la formule à deux termes, en connaissant les intersections utiles.

Un sous-espace a-t-il un unique supplémentaire ?

Non, sauf cas triviaux il en possède une infinité. Tous ont en revanche la même dimension, égale à celle de l'espace moins celle du sous-espace.

Quiz familles, bases et dimensions en maths sup (MPSI)

Dimension de l'espace des matrices symétriques réelles de taille 3 ?

Dans \(\mathbb{R}^5\), \(\dim F=3\) et \(\dim G=4\). Minimum de \(\dim(F\cap G)\) ?

Une famille de 4 vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) est…

Rang de la famille \((1,2,3),\ (2,4,6),\ (0,1,1)\) ?

Pourquoi \((1,\ X+2,\ (X+2)^2)\) est-elle une base de \(\mathbb{R}_2[X]\) ?

En dimension \(n\), pour qu'une famille de \(n\) vecteurs soit une base, il suffit qu'elle soit…

\(F\) est un plan de \(\mathbb{R}^5\). Dimension de tout supplémentaire de \(F\) ?

En dimension finie, \(F+G\) est directe si et seulement si…

Coordonnées de \(X^2\) dans la base \((1,\ X-1,\ (X-1)^2)\) ?

Dimension de \(\{P\in\mathbb{R}_4[X],\ P(1)=0\}\) ?

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

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Questions fréquentes : familles, bases et dimensions en MPSI