Quiz matrices, bases et invariants en MPSI

Quiz matrices, bases et invariants en maths sup (MPSI)

Teste en dix questions tes réflexes sur les matrices d'applications linéaires : formules de changement de base, rang, trace et matrices semblables ou équivalentes.

\(P\) matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\), \(X\) et \(X^{\prime}\) les coordonnées d'un vecteur. Quelle relation ?

A.\(X = P X^{\prime}\)B.\(X^{\prime} = P X\)C.\(X = P^{-1} X^{\prime}\)D.\(X = P^{T} X^{\prime}\)

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz express passe en revue les automatismes du chapitre sur la représentation matricielle : dans quel sens écrire une formule de changement de base, comment se comporte la trace d'un produit, ce que le rang devient par transposition, et quelle information la trace et le rang donnent vraiment sur la similitude. Les questions sont courtes et se traitent de tête ou avec un brouillon de quelques lignes.

Fais-le juste avant une colle d'algèbre linéaire ou en ouverture de TD, pour repérer les confusions entre matrices semblables et matrices équivalentes. En cas d'erreur, réécris la définition de la matrice de passage : chaque colonne décrit un vecteur de la base d'arrivée exprimé avec ceux de la base de départ. Un 8 sur 10 signifie que les bases sont solides ; sinon, reprends un exemple concret en dimension 2 et vérifie chaque formule à la main avant le partiel.

Aller plus loin sur matrices, bases et invariants

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Questions fréquentes : matrices, bases et invariants en MPSI

Comment ne plus confondre le sens des formules de changement de base ?

La matrice de passage de B à B' a pour colonnes les vecteurs de B' écrits dans B. Elle transforme donc les nouvelles coordonnées en anciennes : X = PX'.

Une trace commune suffit-elle pour conclure à la similitude ?

Non. La trace et le rang sont des invariants de similitude, mais ils ne suffisent pas : I2 et la matrice triangulaire de diagonale 1 avec un 1 au-dessus ont même trace et même rang sans être semblables.

À quoi sert la matrice J_r ?

Toute matrice de rang r est équivalente à J_r, qui contient I_r en haut à gauche et des zéros ailleurs. Pour deux matrices de même format, l'égalité des rangs est donc le seul critère d'équivalence.

Quiz matrices, bases et invariants en maths sup (MPSI)

\(A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) avec \(\operatorname{tr}(AB)=5\). Que vaut \(\operatorname{tr}(BA)\) ?

Rang de l'endomorphisme \(P \mapsto P^{\prime}\) de \(\mathbb{R}_3[X]\) ?

\(P\) matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\), \(X\) et \(X^{\prime}\) les coordonnées d'un vecteur. Quelle relation ?

Un endomorphisme a pour matrice \(M\) dans \(\mathcal{B}\). Sa matrice dans \(\mathcal{B}^{\prime}\) vaut…

Trace d'un projecteur de rang 2 de \(\mathbb{R}^5\) ?

Rang d'une matrice carrée d'ordre 4 remplie uniquement de 7 ?

Deux matrices carrées de même trace et de même rang sont-elles semblables ?

\(A\) de taille \(3 \times 5\) est de rang 2. Rang de \(A^{T}\) ?

Dimension complexe de l'espace des matrices à 2 lignes et 5 colonnes à coefficients complexes ?

Une matrice de taille \(n \times p\) et de rang \(r\) est toujours équivalente à…

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

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