Quiz déterminants et signatures en réflexes en MPSI

Pour toute matrice carrée A de taille n, quelle égalité est vraie ?

A.\(A\,\mathrm{Com}(A) = \det(A)\,I_n\)B.\(A\,{}^t\mathrm{Com}(A) = I_n\)C.\(A\,{}^t\mathrm{Com}(A) = \det(A)^n\,I_n\)D.\(A\,{}^t\mathrm{Com}(A) = \det(A)\,I_n\)

\(D_n\) : déterminant tridiagonal de taille n, avec 2 sur la diagonale et 1 juste au-dessus et au-dessous. Récurrence ?

A.\(D_n = 2D_{n-1} + D_{n-2}\)B.\(D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}\)C.\(D_n = 2D_{n-1} - 2D_{n-2}\)D.\(D_n = D_{n-1} - D_{n-2}\)

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz express passe en revue les réflexes sur le déterminant que l'on attend en première année : signature d'un cycle, effet d'un scalaire sur une matrice de taille n, opérations élémentaires qui conservent ou changent le déterminant, produit des pivots d'une matrice triangulaire, valeur d'un Vandermonde et relation entre une matrice et sa comatrice. Une question porte aussi sur la récurrence d'un déterminant tridiagonal.

Réponds sans poser de calcul long : chaque question se règle en quelques secondes si la propriété est bien en place. Une erreur de signe ou de puissance révèle souvent une formule apprise à moitié. Lance le quiz avant une colle d'algèbre linéaire, refais-le après le TD sur les déterminants, puis une dernière fois la veille du partiel pour arriver avec des automatismes solides. Note les questions manquées et reprends la démonstration correspondante dans ton cours.

Aller plus loin sur déterminants et signatures en réflexes

Une erreur ? Reprends le cours de maths sup (MPSI), les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page maths sup (MPSI).

Questions fréquentes : déterminants et signatures en réflexes en MPSI

Pourquoi det(λA) ne vaut-il pas λ det(A) ?

Chaque colonne de λA vaut λ fois la colonne de A, et le déterminant sort un facteur λ par colonne. Avec n colonnes, on récupère donc λ puissance n, pas un seul λ.

Quelles opérations sur les lignes laissent le déterminant inchangé ?

Les transvections, du type Li remplacée par Li + c Lj avec j différent de i, gardent la même valeur. Une permutation de deux lignes inverse le signe et une dilatation de rapport c le multiplie par c.

Comment obtenir la signature d'une permutation rapidement ?

Écris la permutation comme produit de cycles disjoints, puis multiplie les signatures : chaque cycle à p éléments contribue par (−1) puissance p − 1. Compter les inversions donne le même résultat.

Quiz déterminants et signatures en réflexes en maths sup (MPSI)

Quelle est la signature d'un cycle de longueur 4 dans \(\mathfrak{S}_6\) ?

A est une matrice carrée de taille 3 avec \(\det A = 5\), que vaut \(\det(2A)\) ?

Avec \(\det A = 3\) et \(\det B = -2\), que vaut \(\det(A^{-1}B^2)\) ?

Que vaut \(\det\begin{pmatrix} 2 & 7 & -1 \\ 0 & -3 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\) ?

Échanger deux colonnes d'une matrice carrée multiplie son déterminant par :

L'opération \(L_2 \leftarrow L_2 + 5L_1\) multiplie le déterminant par :

Que vaut le Vandermonde \(\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \end{pmatrix}\) ?