Quiz fractions rationnelles et pôles en MPSI

Forme de la décomposition sur \(\mathbb{R}\) de \(\dfrac{1}{X(X^2+X+1)}\) ?

A.\(\dfrac{a}{X} + \dfrac{b}{X^2+X+1}\)B.\(\dfrac{aX+b}{X} + \dfrac{c}{X^2+X+1}\)C.\(\dfrac{a}{X} + \dfrac{bX^2+c}{X^2+X+1}\)D.\(\dfrac{a}{X} + \dfrac{bX+c}{X^2+X+1}\)

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz express porte sur l'arithmétique de \(K[X]\) et sur les fractions rationnelles. Tu y retrouves la division euclidienne qui donne la partie entière, le PGCD obtenu en factorisant, une relation de Bézout très simple, puis la forme attendue d'une décomposition en éléments simples sur \(\mathbb{R}\) et sur \(\mathbb{C}\). Plusieurs questions demandent un coefficient de pôle simple obtenu par évaluation, le réflexe qui fait gagner le plus de temps en épreuve.

Lance-le juste avant un TD d'intégration ou une colle d'algèbre : chaque réponse se trouve en moins d'une minute au brouillon. Si tu hésites sur la forme d'une décomposition, reprends la factorisation du dénominateur avant tout calcul. Enfin, garde en tête la formule de la dérivée logarithmique \(P^{\prime}/P\), qui transforme une somme sur les racines d'un polynôme en un simple quotient et revient souvent en partiel.

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Questions fréquentes : fractions rationnelles et pôles en MPSI

Faut-il toujours effectuer la division euclidienne avant de décomposer ?

Oui dès que le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur. Le quotient obtenu est la partie entière, et seul le reste se décompose en éléments simples.

Comment obtenir vite le coefficient d'un pôle simple \(a\) ?

Multiplie la fraction par \(X-a\) puis évalue en \(a\). Si la fraction s'écrit \(P/Q\) avec \(a\) racine simple de \(Q\), le coefficient vaut aussi \(P(a)/Q^{\prime}(a)\).

Pourquoi la décomposition sur R contient-elle des termes en \(bX+c\) ?

Les facteurs irréductibles de degré 2 sans racine réelle ne se scindent pas sur \(\mathbb{R}\). Leur élément simple a donc un numérateur de degré au plus 1.

Quiz fractions rationnelles et pôles en maths sup (MPSI)

Partie entière de \(\dfrac{X^3+2}{X^2-1}\) ?

Dans \(\dfrac{X+5}{(X-2)(X+1)}\), coefficient de \(\dfrac{1}{X-2}\) ?

Coefficient de \(\dfrac{1}{X-2}\) dans \(\dfrac{1}{X^3-8}\) ?

PGCD unitaire de \(X^4-1\) et \(X^3-X\) ?

Quel couple \((U,V)\) vérifie \(UX + V(X+1) = 1\) ?

Degré de la fraction \(\dfrac{2X^3+X}{X^5-4}\) ?

Pôles de \(\dfrac{X-1}{X^2-1}\) une fois la fraction rendue irréductible ?

Nombre de termes polaires dans la décomposition de \(\dfrac{1}{X^3(X-4)}\) ?

Forme de la décomposition sur \(\mathbb{R}\) de \(\dfrac{1}{X(X^2+X+1)}\) ?

\(P\) scindé à racines simples \(x_1, \dots, x_n\). Que vaut \(\sum_k \dfrac{1}{X-x_k}\) ?

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

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Questions fréquentes : fractions rationnelles et pôles en MPSI