Sous-suites et encadrements : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : sous-suites et encadrements

Le sujet du contrôle : sous-suites et encadrements

Exercice 1 – Deux limites par encadrement (3 points)

Pour tout entier \(n \geq 1\), on pose

\[a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2n+k}{n^2+k} \quad \text{et} \quad c_n = \frac{\lfloor n\sqrt{3} \rfloor}{n+\sqrt{n}},\]

où \(\lfloor x \rfloor\) désigne la partie entière du réel \(x\).

1. Pour \(1 \leq k \leq n\), encadrer \(\frac{2n+k}{n^2+k}\) par deux quotients de même numérateur. Montrer ensuite que \(\frac{5n+1}{2(n+1)} \leq a_n \leq \frac{5n^2+n}{2(n^2+1)}\). (1,5 point)
2. En déduire que \((a_n)\) converge et préciser sa limite. (0,5 point)
3. Encadrer \(c_n\) à l’aide de la définition de la partie entière, puis déterminer la limite de \((c_n)\). (1 point)

Exercice 2 – Un couple de suites adjacentes (4 points)

Pour tout entier \(n \geq 1\), on définit

\[u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3} \quad \text{et} \quad v_n = u_n + \frac{1}{2n^2}.\]

La figure ci-dessous représente les points de coordonnées \((n, u_n)\) et \((n, v_n)\) pour \(n\) allant de 1 à 8 : les uns sont des disques bleus, les autres des triangles orange.

1. Établir que \(v_{n+1} – v_n = -\frac{3n+1}{2n^2(n+1)^3}\) pour tout \(n \geq 1\). Étudier alors la monotonie de \((u_n)\) et celle de \((v_n)\). (1,5 point)
2. Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers une même limite \(L\), en nommant le théorème utilisé. Justifier aussi que \(u_n \leq L \leq v_n\) pour tout \(n \geq 1\). (1 point)
3. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(v_n – u_n \leq \frac{1}{30}\). Donner ensuite un encadrement de \(L\) par deux fractions de même dénominateur. (1 point)
4. Indiquer quelle série de points représente \((u_n)\), en justifiant par deux arguments. (0,5 point)

Exercice 3 – Indices pairs, impairs et multiples de trois (4 points)

Dans cet exercice, \((x_n)\) désigne une suite réelle quelconque. On considère aussi la suite \((w_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(w_n = \frac{n+2}{n+1}\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)\), dont les premiers termes sont représentés ci-dessous.

1. Calculer \(w_{6p}\) et \(w_{6p+3}\) pour tout \(p \in \mathbb{N}\). Démontrer alors que \((w_n)\) diverge. (1,5 point)
2. On suppose que \((x_{2n})\) et \((x_{2n+1})\) convergent toutes deux vers un même réel \(\ell\). Démontrer avec des quantificateurs que \((x_n)\) converge vers \(\ell\). (1,5 point)
3. On suppose cette fois que \((x_{2n})\), \((x_{2n+1})\) et \((x_{3n})\) convergent, sans connaître leurs limites. Montrer que \((x_n)\) converge. (1 point)

Exercice 4 – Récurrences linéaires d’ordre 2 (4 points)

On définit deux suites réelles par leurs deux premiers termes et une relation de récurrence valable pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\[v_0 = 2,\quad v_1 = \frac{1}{6},\quad 6\,v_{n+2} = v_{n+1} + v_n\]

\[u_0 = 1,\quad u_1 = 1,\quad u_{n+2} = 2\,u_{n+1} – 4\,u_n.\]

1. Déterminer le terme général de \((v_n)\), puis sa limite. (1,5 point)
2. Écrire sous forme exponentielle les racines de l’équation caractéristique associée à \((u_n)\). En déduire que \(u_n = 2^n \cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). (1,5 point)
3. Prouver que \((u_n)\) n’admet aucune limite, finie ou infinie. (1 point)

Exercice 5 – Problème : la moyenne arithmético-géométrique de 8 et 2 (5 points)

On pose \(a_0 = 8\) et \(b_0 = 2\), puis, pour tout \(n \in \mathbb{N}\),

\[a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} \quad \text{et} \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n\,b_n}.\]

La figure suivante place les trois premiers segments \(\left[b_n\,;a_n\right]\) sur une droite graduée.

1. Calculer \(a_1\), \(b_1\), \(a_2\) et \(b_2\), en donnant \(b_2\) sous forme simplifiée. (0,5 point)
2. Montrer par récurrence que les suites sont bien définies et que \(0 < b_n \leq a_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). (1 point)
3. Montrer que \((a_n)\) est décroissante et que \((b_n)\) est croissante. (1 point)
4. Établir que \(a_{n+1} – b_{n+1} \leq \frac{a_n – b_n}{2}\) pour tout \(n\). Conclure ensuite que \((a_n)\) et \((b_n)\) ont une limite commune, notée \(M\). (1 point)
5. Vérifier que \(a_{n+1} – b_{n+1} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{a_n} – \sqrt{b_n}\right)^2\). Pour \(n \geq 1\), en déduire que \(a_{n+1} – b_{n+1} \leq \frac{(a_n – b_n)^2}{32}\). Montrer enfin que \(a_3\) est une valeur approchée de \(M\) à \(10^{-4}\) près. (1 point)
6. Soit \(\lambda > 0\). Expliquer pourquoi les suites issues de \(\lambda a_0\) et \(\lambda b_0\) sont \((\lambda a_n)\) et \((\lambda b_n)\). Exprimer alors \(M\) à l’aide de la limite commune des suites issues de 4 et 1. (0,5 point)

Réviser sous-suites et encadrements avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours convergence des suites réelles et complexes ; entraînez-vous sur les exercices convergence des suites réelles et complexes avant de retenter le sujet.

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