Quiz dérivées, Rolle et inégalités en MPSI

Quiz dérivées, Rolle et inégalités en maths sup (MPSI)

Dix réflexes rapides pour vérifier que tu sais appliquer Rolle, majorer un écart par les accroissements finis et dériver sans te tromper.

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz express teste tes automatismes sur la dérivabilité : repérer l'hypothèse manquante du théorème de Rolle, compter les racines d'une dérivée, utiliser l'inégalité des accroissements finis pour obtenir une constante de Lipschitz, dériver une réciproque ou appliquer la formule de Leibniz en une ligne. Chaque question demande moins d'une minute si le cours est bien en place, et la correction s'affiche aussitôt.

Utilise-le la veille d'une colle ou juste avant un TD : une erreur signale souvent une hypothèse que tu lis trop vite, par exemple la dérivabilité sur l'intervalle ouvert ou le cas des fonctions à valeurs complexes. Refais ensuite le quiz à froid quelques jours plus tard pour vérifier que les réflexes tiennent. Si ton score reste sous 7 sur 10, reprends les énoncés exacts des théorèmes avant ton partiel, puis entraîne-toi sur des exercices de fonction auxiliaire.

Aller plus loin sur dérivées, Rolle et inégalités

Une erreur ? Reprends le cours de maths sup (MPSI), les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page maths sup (MPSI).

Questions fréquentes : dérivées, Rolle et inégalités en MPSI

Le théorème de Rolle marche-t-il pour une fonction à valeurs complexes ?

Non. La fonction \(t\mapsto e^{it}\) prend la même valeur en \(0\) et en \(2\pi\) mais sa dérivée ne s'annule jamais. On garde en revanche l'inégalité des accroissements finis.

Quelle différence entre égalité et inégalité des accroissements finis ?

L'égalité donne un point \(c\) où la pente \(f^{\prime}(c)\) vaut le taux d'accroissement entre \(a\) et \(b\), elle exige une fonction réelle. L'inégalité majore \(|f(b)-f(a)|\) par \(M|b-a|\) dès que \(|f^{\prime}|\leq M\).

Comment montrer qu'un prolongement par continuité est de classe C1 ?

On vérifie la continuité au point, puis on montre que la dérivée a une limite finie en ce point. Le théorème de la limite de la dérivée conclut à la dérivabilité et à la continuité de la dérivée.

Quiz dérivées, Rolle et inégalités en maths sup (MPSI)

Pour \(f(x)=x^2-4x\) sur \([0,4]\), quel point \(c\) fournit le théorème de Rolle ?

Pour \(x\mapsto |x-1|\) sur \([0,2]\), quelle hypothèse de Rolle fait défaut ?

Un polynôme réel de degré 6 a 6 racines réelles distinctes. Combien de racines réelles distinctes a au moins sa dérivée ?

Par les accroissements finis, pour tous réels \(a,b\), \(|\sin a-\sin b|\) est majoré par :

Meilleure constante de Lipschitz de \(x\mapsto\sqrt{x}\) sur \([1,+\infty[\) ?

Avec \(f(x)=x^3+x\), on a \(f(1)=2\). Que vaut \((f^{-1})^{\prime}(2)\) ?

Par la formule de Leibniz, la dérivée dixième de \(x\mapsto xe^x\) vaut :

\(f\) est continue en 0, dérivable ailleurs, et \(f^{\prime}(x)\to 3\) quand \(x\to 0\). Que vaut \(f^{\prime}(0)\) ?

Pour \(x\mapsto x^3\), que représente le point 0 ?

Pour \(t\mapsto e^{it}\) sur \([0,2\pi]\), la conclusion de Rolle est-elle vraie ?

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Aller plus loin sur dérivées, Rolle et inégalités

Questions fréquentes : dérivées, Rolle et inégalités en MPSI