Quiz réflexes de convexité en MPSI

Q: Une fonction convexe est-elle forcément dérivable ?

Non. La valeur absolue est convexe sur l'ensemble des réels mais n'est pas dérivable en 0. Une fonction convexe sur un intervalle ouvert est en revanche continue et admet des dérivées à gauche et à droite en tout point.

Q: Faut-il une dérivée seconde strictement positive pour être convexe ?

Non, il suffit qu'elle soit positive ou nulle. La fonction puissance quatre est convexe sur les réels alors que sa dérivée seconde s'annule en 0.

Q: Comment trouver la bonne tangente pour une inégalité ?

On cherche le point où les deux membres de l'inégalité sont égaux : c'est le point de contact. On écrit la tangente en ce point, puis on utilise la position du graphe convexe au-dessus de ses tangentes, ou concave en dessous.

Pour \(f\) deux fois dérivable sur un intervalle \(I\), \(f\) convexe sur \(I\) équivaut à :

A.\(f^{\prime} \geqslant 0\) sur \(I\)B.\(f \geqslant 0\) sur \(I\)C.\(f^{\prime\prime}\) croissante sur \(I\)D.\(f^{\prime\prime} \geqslant 0\) sur \(I\)

Jensen pour \(f\) convexe, poids \(\lambda_i \geqslant 0\) de somme 1 :

A.\(f(\sum \lambda_i x_i) \geqslant \sum \lambda_i f(x_i)\)B.\(f(\sum x_i) \leqslant \sum f(x_i)\)C.\(f(\sum \lambda_i x_i) \leqslant \sum \lambda_i f(x_i)\)D.\(f(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i f(x_i)\)

\(f\) convexe, \(a < b < c\), \(p(u,v)\) pente de la corde entre \(u\) et \(v\). Quel ordre est juste ?

A.\(p(b,c) \leqslant p(a,c) \leqslant p(a,b)\)B.\(p(a,c) \leqslant p(a,b) \leqslant p(b,c)\)C.\(p(a,b) \leqslant p(a,c) \leqslant p(b,c)\)D.\(p(a,b) \leqslant p(b,c) \leqslant p(a,c)\)

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz rapide fait travailler les réflexes de convexité attendus en première année : caractériser une fonction convexe par sa dérivée seconde, situer le graphe par rapport à ses cordes et à ses tangentes, ordonner les pentes et écrire correctement l'inégalité de Jensen. Tu y retrouves aussi les inégalités classiques obtenues en traçant une tangente à l'exponentielle ou au logarithme, ainsi que la comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique.

Utilise-le avant une colle ou un TD : réponds sans brouillon, puis reprends chaque erreur en traçant rapidement la courbe et la droite concernée. Si une question te bloque, demande-toi quelle tangente ou quelle corde permet de conclure, car c'est presque toujours la clé. À la veille d'un partiel, refais-le jusqu'à obtenir dix sur dix en moins de cinq minutes : c'est le signe que les automatismes sont en place.

Aller plus loin sur réflexes de convexité

Une erreur ? Reprends le cours de maths sup (MPSI), les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page maths sup (MPSI).

Questions fréquentes : réflexes de convexité en MPSI

Une fonction convexe est-elle forcément dérivable ?

Non. La valeur absolue est convexe sur l'ensemble des réels mais n'est pas dérivable en 0. Une fonction convexe sur un intervalle ouvert est en revanche continue et admet des dérivées à gauche et à droite en tout point.

Faut-il une dérivée seconde strictement positive pour être convexe ?

Non, il suffit qu'elle soit positive ou nulle. La fonction puissance quatre est convexe sur les réels alors que sa dérivée seconde s'annule en 0.

Comment trouver la bonne tangente pour une inégalité ?

On cherche le point où les deux membres de l'inégalité sont égaux : c'est le point de contact. On écrit la tangente en ce point, puis on utilise la position du graphe convexe au-dessus de ses tangentes, ou concave en dessous.

Quiz réflexes de convexité en maths sup (MPSI)

Pour \(f\) deux fois dérivable sur un intervalle \(I\), \(f\) convexe sur \(I\) équivaut à :

La fonction \(x \mapsto x^4\) est-elle convexe sur \(\mathbb{R}\) ?

La tangente à \(\exp\) au point d'abscisse 1 fournit, pour tout réel \(x\) :

La tangente à \(\ln\) au point d'abscisse \(e\) fournit, pour tout \(x > 0\) :

Moyenne géométrique puis moyenne arithmétique de 1, 3 et 9 :

Jensen pour \(f\) convexe, poids \(\lambda_i \geqslant 0\) de somme 1 :

\(f\) convexe, \(a < b < c\), \(p(u,v)\) pente de la corde entre \(u\) et \(v\). Quel ordre est juste ?

Pour \(f\) convexe, entre \(a\) et \(b\), le graphe est situé :

Le produit de deux fonctions convexes sur \(\mathbb{R}\) est-il convexe ?

Sur \(]0,+\infty[\), la fonction \(f : x \mapsto x\ln x\) est :

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

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Questions fréquentes : réflexes de convexité en MPSI