Quiz récurrences du type u(n+1) = f(u(n)) en MPSI

Avec \(f\) continue, si \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\), l’hypothèse qui permet d’écrire \(f(\ell)=\ell\) est :

A.\(f\) continue en \(\ell\)B.\(f\) croissante sur l’intervalleC.\(f\) bornée sur l’intervalleD.\(f\) positive en \(\ell\)

Sur \(I\) stable, \(|f^{\prime}| \leq \frac{1}{3}\) et \(\ell \in I\) point fixe : on obtient \(|u_n-\ell| \leq\) …

A.\(3^{n}\,|u_0-\ell|\)B.\(\frac{1}{3n}\,|u_0-\ell|\)C.\(3^{-n}\,|u_0-\ell|\)D.\(\frac{1}{3}\,|u_0-\ell|^n\)

Méthode de Newton appliquée à \(g(x)=x^2-5\) : la récurrence obtenue est…

A.\(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n-\frac{5}{x_n}\right)\)B.\(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{5}{x_n}\right)\)C.\(x_{n+1}=\frac{5}{x_n}\)D.\(x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-5}{2}\)

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz rapide te fait réviser les suites itératives sans rédiger : tu dois repérer un intervalle stable, trouver les points fixes candidats à la limite, lire la monotonie dans le signe de f(x) − x et distinguer le cas d’une fonction croissante de celui d’une fonction décroissante, où il faut passer par les suites extraites des rangs pairs et impairs. Quelques questions portent aussi sur les fonctions contractantes et sur la vitesse de la méthode de Newton.

Utilise-le la veille d’une colle ou d’un TD : réponds sans brouillon, puis reprends chaque erreur en refaisant le calcul à la main. Si tu bloques sur l’hypothèse de continuité ou sur l’inégalité des accroissements finis, relis le plan d’étude du cours avant de recommencer. Un score de 8 sur 10 montre que les automatismes sont en place pour un partiel.

Aller plus loin sur récurrences du type u(n+1) = f(u(n))

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Questions fréquentes : récurrences du type u(n+1) = f(u(n)) en MPSI

Pourquoi chercher d’abord un intervalle stable ?

Il garantit que tous les termes sont bien définis et restent dans une zone où l’on connaît les variations de f. Sans lui, on ne peut ni étudier la monotonie ni appliquer les inégalités sur f.

Une suite itérative converge-t-elle toujours vers un point fixe ?

Seulement si elle converge et si f est continue en sa limite : on passe alors à la limite dans la relation de récurrence. Une suite peut aussi diverger alors que f possède des points fixes.

Que faire quand f est décroissante sur l’intervalle stable ?

On étudie les suites des termes de rang pair et de rang impair, qui suivent la récurrence associée à f∘f, croissante. Elles sont monotones de sens contraires et il reste à vérifier qu’elles ont la même limite.

Quiz récurrences du type u(n+1) = f(u(n)) en maths sup (MPSI)

Avec \(f\) continue, si \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\), l’hypothèse qui permet d’écrire \(f(\ell)=\ell\) est :

Points fixes de \(f(x)=\frac{x^2+3}{4}\) ?

\(f\) croissante sur un intervalle stable \(I\) et \(u_0 \in I\) : la suite \((u_n)\) est forcément…

\(f\) décroissante sur un intervalle stable : les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont…

Si \(f(x)-x \geq 0\) sur l’intervalle stable contenant \(u_0\), alors \((u_n)\) est…

Point fixe \(\ell\) de \(f\) de classe \(C^1\) : il est attractif dès que…