Quiz intégrales, sommes de Riemann et IPP en L1

Quiz intégrales, sommes de Riemann et IPP en L1 de maths

Dix questions rapides sur l’intégration en L1 : intégrales par parties, changements de variable, sommes de Riemann et hypothèses à ne jamais oublier.

Avec \(u=\sqrt{x}\), l’intégrale \(\displaystyle\int_1^4 \frac{dx}{x+\sqrt{x}}\) devient…

A.\(\displaystyle\int_1^4 \frac{2\,du}{u+1}\)B.\(\displaystyle\int_1^2 \frac{du}{u^2+u}\)C.\(\displaystyle\int_1^2 \frac{2\,du}{u+1}\)D.\(\displaystyle\int_1^2 \frac{du}{2(u+1)}\)

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

Ce quiz entraîne tes réflexes sur l’intégrale de Riemann : calculer de tête une intégrale de fonction en escalier, mener une intégration par parties courte, transformer les bornes et l’élément différentiel lors d’un changement de variable, reconnaître une somme de Riemann et dériver une fonction définie par une intégrale à borne variable. Plusieurs questions portent sur les hypothèses : continuité, monotonie, inégalité de la moyenne et de Cauchy-Schwarz.

Utilise-le en fin de révision, avant un TD ou un partiel de première année : donne chaque réponse sans brouillon, puis vérifie au crayon celles où tu as hésité. Une erreur sur un changement de variable vient presque toujours des bornes oubliées ; une erreur sur une hypothèse doit te renvoyer à l’énoncé exact du théorème. Refais le quiz jusqu’à un score parfait pour fixer ces automatismes.

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Questions fréquentes : intégrales, sommes de Riemann et IPP en L1

Comment reconnaître une somme de Riemann ?

On cherche un facteur (b − a)/n devant une somme de valeurs f(a + k(b − a)/n). Sur [0, 1], il s’agit de (1/n) fois la somme des f(k/n), qui tend vers l’intégrale de f si f est continue.

Quand choisir une intégration par parties ?

Quand l’intégrande est un produit dont un facteur se simplifie en le dérivant, comme un polynôme ou un logarithme, et dont l’autre se primitive facilement. Les deux fonctions doivent être de classe C¹.

Pourquoi une fonction positive d’intégrale nulle n’est-elle pas forcément nulle ?

Sans continuité, elle peut être non nulle en un nombre fini de points sans changer l’intégrale. Le résultat f = 0 exige que f soit continue sur le segment.

Quiz intégrales, sommes de Riemann et IPP en L1 de maths

Valeur de \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{2x}\,dx\) ?

Limite de \(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} e^{k/n}\) ?

Dérivée de \(F(x)=\displaystyle\int_0^{x^2} \cos t\,dt\) ?

Inégalité de la moyenne : \(\left|\int_a^b f\right| \leq\) …

Cauchy-Schwarz : \(\left(\int_0^1 fg\right)^2 \leq\) …

Avec \(u=\sqrt{x}\), l’intégrale \(\displaystyle\int_1^4 \frac{dx}{x+\sqrt{x}}\) devient…

Sur un segment, toute fonction est Riemann-intégrable dès qu’elle est…

Une primitive de \(x\mapsto \frac{1}{x\ln x}\) sur \(]1,+\infty[\) ?

\(f\geq 0\) sur \([a,b]\) et \(\int_a^b f=0\) entraînent \(f=0\) si \(f\) est…

Valeur de \(\displaystyle\int_0^3 \lfloor x \rfloor\,dx\) ?

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