Quiz optimiser une fonction de deux variables en MP

Quiz optimiser une fonction de deux variables en maths spé (MP)

Dix questions éclair pour automatiser la recherche d'extremums : points critiques, lecture de la hessienne, Schwarz, gradients colinéaires sous contrainte et petite équation aux dérivées partielles.

\(a\) extremum de \(f\) sur \(\{g = 0\}\) avec \(\nabla g(a) \neq 0\) : alors…

A.\(\nabla f(a) = 0\)B.\(\nabla f(a)\) est orthogonal à \(\nabla g(a)\)C.\(\nabla f(a)\) est colinéaire à \(\nabla g(a)\)D.\(\nabla f(a) = \nabla g(a)\)

Solutions de classe \(C^1\) sur le plan de l'équation \(\partial_2 f(x,y) = 2y\) ?

A.\(y^2 + C\) avec \(C\) constanteB.\(2y + \varphi(x)\) avec \(\varphi\) de classe \(C^1\)C.\(y^2 + \varphi(x)\) avec \(\varphi\) de classe \(C^1\)D.\(y^2 + \varphi(y)\) avec \(\varphi\) de classe \(C^1\)

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express travaille les réflexes d'optimisation en plusieurs variables : trouver un point critique en résolvant un petit système, puis conclure grâce à la matrice hessienne en lisant son déterminant et sa trace. Tu y vérifies aussi les cas où la hessienne ne permet rien de conclure et où il faut revenir à la fonction elle-même, ainsi que l'hypothèse exacte du théorème de Schwarz.

Une partie du quiz porte sur les extremums liés : gradients colinéaires, espace tangent à une ligne de niveau, petit problème d'optimisation sous contrainte. Une dernière question te fait résoudre une équation aux dérivées partielles élémentaire. Fais-le avant un TD pour savoir où tu en es, puis refais-le la veille d'une colle ou d'un concours blanc en visant dix sur dix : ces automatismes évitent les conclusions hâtives qui coûtent des points.

Aller plus loin sur optimiser une fonction de deux variables

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Questions fréquentes : optimiser une fonction de deux variables en MP

Un point critique est-il forcément un extremum ?

Non : la nullité du gradient est seulement une condition nécessaire sur un ouvert. Un point col, comme l'origine pour x² - y², est critique sans être un extremum.

Comment conclure si la hessienne a un déterminant égal à zéro ?

Les termes d'ordre 2 ne tranchent plus. Il faut comparer f au voisinage du point avec sa valeur en ce point, en testant par exemple des droites ou des paraboles qui y passent.

Pourquoi exige-t-on que le gradient de la contrainte soit non nul ?

Cette hypothèse garantit que la ligne de niveau a un espace tangent égal à l'orthogonal du gradient ; c'est elle qui permet d'écrire la condition de colinéarité des gradients.

Quiz optimiser une fonction de deux variables en maths spé (MP)

Point critique de \(f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x\) ?

En un point critique, hessienne de déterminant \(> 0\) et de trace \(> 0\) : on a…

En un point critique, hessienne de déterminant \(< 0\) : on a…

En un point critique, hessienne de déterminant nul : on peut conclure…

En \((0,0)\), la fonction \(f(x,y) = x^3 + y^2\) présente…

Hypothèse du théorème de Schwarz pour échanger les dérivées croisées ?