Convexité et point d'inflexion
Le signe de la dérivée seconde. — Analyse, terminale.
Une fonction est convexe là où sa dérivée seconde est positive : sa courbe tourne alors sa concavité vers le haut et se situe au-dessus de chacune de ses tangentes. Elle est concave dans le cas contraire, et un point d'inflexion sépare les deux comportements.
Le quiz entraîne le calcul de la dérivée seconde, la lecture de la convexité à partir de son signe, la recherche des points d'inflexion et la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
Ce que ce quiz fait travailler
- Calculer une dérivée seconde
- Déterminer la convexité à partir de son signe
- Repérer un point d'inflexion
- Situer une courbe par rapport à sa tangente
La méthode, étape par étape
- Convexef″ ⩾ 0 : la courbe est au-dessus de ses tangentes.
- Concavef″ ⩽ 0 : la courbe est en dessous de ses tangentes.
- Point d'inflexionLa dérivée seconde s'y annule en changeant de signe.
- Fonctions de référenceL'exponentielle est convexe partout, le logarithme concave partout.
Les erreurs les plus fréquentes
- Conclure à un point d'inflexion dès que la dérivée seconde s'annule, sans changement de signe.
- Confondre convexité et croissance.
- Inverser au-dessus et en dessous de la tangente.
Conseils d'utilisation en classe
Insistez sur la différence entre variation, donnée par f′, et convexité, donnée par f″.
Le type « Fonctions de référence » donne des repères immédiats sans aucun calcul.
Questions fréquentes
Quelle différence entre convexité et croissance ?
La croissance est donnée par le signe de f′, la convexité par celui de f″. Une fonction peut être décroissante et convexe, comme l'exponentielle décroissante.
Comment reconnaître un point d'inflexion ?
La dérivée seconde doit s'y annuler en changeant de signe. Une annulation sans changement de signe ne donne pas de point d'inflexion.
Où se situe la courbe par rapport à ses tangentes ?
Au-dessus sur un intervalle de convexité, en dessous sur un intervalle de concavité. Le point d'inflexion est celui où la courbe traverse sa tangente.
À travailler ensuite en Tale
Limites de suites et de fonctionsReconnaître la forme, lever l'indétermination.
Dérivées et fonctions composéesLa formule de la composée, appliquée sans hésiter.
Logarithme népérienLe produit devient somme.
Exponentielle : équations et inéquationsPasser au logarithme, sans changer le sens.
PrimitivesRemonter la dérivation.
Calcul intégralUne primitive, deux valeurs, une différence.