Logarithme népérien
Le produit devient somme. — Analyse, terminale.
Le logarithme népérien transforme les produits en sommes et les puissances en produits. Ces propriétés, exactement inverses de celles de l'exponentielle, permettent de résoudre des équations où l'inconnue figure en exposant, ce qui est sa principale utilité.
Le quiz entraîne les transformations algébriques, les valeurs particulières, la résolution d'équations et la dérivation. Il insiste sur l'ensemble de définition, contrainte permanente que les élèves oublient lorsqu'ils manipulent les formules.
Ce que ce quiz fait travailler
- Transformer un produit, un quotient ou une puissance
- Connaître les valeurs particulières
- Résoudre une équation avec logarithme
- Déterminer un ensemble de définition
La méthode, étape par étape
- Produitln(ab) = ln a + ln b.
- Quotientln(a/b) = ln a − ln b.
- Puissanceln(aⁿ) = n ln a.
- Ensemble de définitionln u n'existe que là où u est strictement positive.
Les erreurs les plus fréquentes
- Écrire ln(a + b) = ln a + ln b.
- Oublier la condition de stricte positivité.
- Confondre ln(a)/ln(b) et ln(a/b).
Conseils d'utilisation en classe
Le type « Vrai ou faux ? » cible les fausses formules : projetez-le régulièrement.
Faites systématiquement énoncer l'ensemble de définition avant toute résolution d'équation.
Questions fréquentes
Peut-on écrire ln(a + b) = ln a + ln b ?
Non, jamais. Seul le produit se transforme en somme : ln(ab) = ln a + ln b. La confusion entre somme et produit est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Comment résoudre ln x = k ?
En appliquant l'exponentielle aux deux membres : x = e^k. Il faut toujours vérifier que la solution appartient à l'ensemble de définition.
Quelle est la dérivée de ln x ?
Elle vaut 1/x sur l'intervalle des réels strictement positifs. Pour ln(u), la dérivée est u′/u.
À travailler ensuite en Tale
Limites de suites et de fonctionsReconnaître la forme, lever l'indétermination.
Dérivées et fonctions composéesLa formule de la composée, appliquée sans hésiter.
Exponentielle : équations et inéquationsPasser au logarithme, sans changer le sens.
Convexité et point d'inflexionLe signe de la dérivée seconde.
PrimitivesRemonter la dérivation.
Calcul intégralUne primitive, deux valeurs, une différence.