Dérivées et fonctions composées
La formule de la composée, appliquée sans hésiter. — Analyse, terminale.
La dérivation en terminale ajoute une formule à celles de première : celle de la composée. Dériver e^u, ln u ou u^n revient toujours à dériver la fonction extérieure puis à multiplier par u′, le facteur que les élèves oublient le plus souvent.
Le quiz entraîne ces dérivations sur des fonctions u affines ou polynomiales simples, ainsi que le calcul de la dérivée seconde, indispensable pour l'étude de la convexité.
Ce que ce quiz fait travailler
- Dériver exp(u) et ln(u)
- Dériver u^n et la racine de u
- Appliquer la formule de la composée
- Calculer une dérivée seconde
La méthode, étape par étape
- Exponentielle composée(e^u)′ = u′ e^u.
- Logarithme composé(ln u)′ = u′ / u.
- Puissance composée(uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹.
- Racine composée(√u)′ = u′ / (2√u).
Les erreurs les plus fréquentes
- Oublier le facteur u′.
- Écrire (ln u)′ = 1/u au lieu de u′/u.
- Confondre dérivée seconde et carré de la dérivée.
Conseils d'utilisation en classe
Faites toujours identifier u et u′ à l'écrit avant d'appliquer une formule.
La dérivée seconde prépare la convexité : enchaînez les deux quiz dans la même séance.
Questions fréquentes
Pourquoi le facteur u′ apparaît-il ?
Parce que la variation de u se répercute sur celle de la fonction composée. C'est la traduction du théorème de dérivation des fonctions composées, et son oubli est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Quelle est la dérivée de ln(u) ?
Elle vaut u′/u, à condition que u soit strictement positive sur l'intervalle considéré. Le numérateur est la dérivée de l'expression intérieure.
À quoi sert la dérivée seconde ?
À étudier la convexité : la fonction est convexe là où la dérivée seconde est positive, concave là où elle est négative, et change de nature aux points d'inflexion.
À travailler ensuite en Tale
Limites de suites et de fonctionsReconnaître la forme, lever l'indétermination.
Logarithme népérienLe produit devient somme.
Exponentielle : équations et inéquationsPasser au logarithme, sans changer le sens.
Convexité et point d'inflexionLe signe de la dérivée seconde.
PrimitivesRemonter la dérivation.
Calcul intégralUne primitive, deux valeurs, une différence.