Sujet du bac de maths 2026 : France, septembre, jour 2
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Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2026
France — Jour 2 — 9 septembre 2026
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Exercice 1 (sujet de bac 2026, France, septembre, jour 2) 5 points
Partie A
Une joueuse de basket constate qu'elle réussit 60 % de ses lancers francs au cours d'une séance d'entraînement.
En se basant sur ces statistiques, on modélise la situation comme une succession d'épreuves aléatoires indépendantes.
1. Cette joueuse effectue cinq lancers consécutifs.
a. Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis.
Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b. Donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de \(P(X \geqslant 4)\).
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
2. Par ailleurs, on suppose maintenant que cette sportive doit effectuer \(n\) lancers, où \(n\) est un entier naturel non nul.
Soit \(Y\) la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis.
En outre, on admet que la variable aléatoire \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p = 0{,}6\).
a. Montrer que \(P(Y \geqslant 1) = 1 - 0{,}4^n\).
b. En déduire le nombre \(n\) de lancers à partir duquel la probabilité d'en réussir au moins un dépasse \(0{,}9999\).
c. Recopier et compléter le script de la fonction Python suivante afin qu'elle permette de retrouver le résultat de la question 2. b.
def basket ():
p = 0.6
n = 1
while ..... :
n = n + 1
p = .....
return ...
Partie B
Pour un autre joueur, on remarque que :
- lorsqu'il a réussi un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de \(0{,}7\).
- lorsqu'il a raté un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de \(0{,}4\).
Puis on considère que la probabilité de réussir son premier lancer est de \(0{,}5\).
Désormais, on note \(G_1\) l'évènement : « le joueur réussit son premier lancer franc ».
Par ailleurs, on a donc \(P(G_1) = 0{,}5\).
Puis on note \(G_2\) l'évènement : « le joueur réussit son deuxième lancer franc ».
1. Calculer \(P(G_2)\).
Ensuite, on pourra utiliser un arbre de probabilité.
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Ensuite, on note \(G_n\) l'évènement « le joueur réussit le \(n\)-ième lancer franc » et \(p_n\), la probabilité de \(G_n\).
Puis on définit ainsi une suite \((p_n)\) de réels.
En outre, on admet que pour tout \(n \geqslant 1\), \(p_{n+1} = 0{,}3p_n + 0{,}4\).
2. a. En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que
pour tout \(n \geqslant 1,\quad p_n \leqslant p_{n+1}\)
b. Quel argument permet d'affirmer que la suite \((p_n)\) est majorée ?
c. En déduire que la suite \((p_n)\) est convergente.
3. Par ailleurs, on admet que la limite de \((p_n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(\dfrac{4}{7}\).
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Exercice 2 (sujet de bac 2026, France, septembre, jour 2) 5 points
Soit \(f\) la fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) définie par \(f(x) = (3x-1)\text{e}^{-x} + 2\).
Puis on note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \(\left(\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}\right)\).
1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).
2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
Interpréter graphiquement ce résultat.
3. Désormais, on note \(f'\) la fonction dérivée de \(f\).
a. Vérifier que, pour tout nombre réel \(x\), \(f'(x) = (4-3x)\text{e}^{-x}\).
b. Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
4. a. Démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).
Ensuite, on notera \(\alpha\) cette solution.
b. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
c. En déduire le tableau de signes de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
d. Soit la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(F(x) = (-3x-2)\text{e}^{-x} + 2x\).
Par ailleurs, on admet que la fonction \(F\) est une primitive de \(f\).
Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par la courbe \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x = 0\) et \(x = 2\).
5. En outre, on admet que la droite d'équation \(y = 4x + 1\) est la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse 0.
Vérifier que, pour tout réel \(x\), \((3x-1)\text{e}^{-x} + 2 \leqslant 4x + 1\).
Exercice 3 (sujet de bac 2026, France, septembre, jour 2) 5 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Les affirmations sont indépendantes.
1. Ensuite, on considère l'équation différentielle \((E) \quad y' - 2y = (x-3)\text{e}^{x}\), où \(y\) est une fonction de la variable \(x\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Affirmation 1 :
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = (x-2)\text{e}^{x}\) est solution de l'équation différentielle (E).
2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\), par \(f(x) = (2x+1)\cos(x)\).
Par ailleurs, on intègre par parties \(\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\,\text{d}x\).
Affirmation 2 :
\[\int_0^{\pi} f(x)\,\text{d}x = -4\pi\]
3. Désormais, on considère l'inéquation suivante sur \(]7 ; +\infty[\) :
\[\ln\left(2x^2 - 6x - 56\right) \geqslant \ln(4x - 8)\]
Affirmation 3 :
L'ensemble des solutions de cette inéquation est l'intervalle \([8 ; +\infty[\).
4. Ensuite, on considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\),
\[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{5u_n + 3}\]
Par ailleurs, on admet que \(u_n \neq 0\) pour tout entier naturel \(n\).
Désormais, on considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = \dfrac{2}{u_n}\).
Affirmation 4 :
La suite \((v_n)\) est une suite arithmétique.
5. Ensuite, on lance 3 600 fois un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.
Affirmation 5 :
La probabilité que le nombre d'apparitions du 6 soit strictement compris entre 450 et 750 est minorée par \(0{,}97\).
Exercice 4 (sujet de bac 2026, France, septembre, jour 2) 5 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\right)\) d'unité 1 cm.
Partie A
On considère les points de l'espace \(\text{R}(1 ; 0 ; 6)\), \(\text{S}(1 ; 3 ; 2)\), \(\text{T}(3{,}5 ; 7 ; 5)\) et \(\text{A}(-2{,}5 ; 8 ; 4{,}5)\).
1. Démontrer que les points R, S et T ne sont pas alignés.
2. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} -10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (RST).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (RST).
3. a. Vérifier que le point A n'appartient pas au plan (RST).
b. Puis on note \(d_1\) la droite passant par le point A et orthogonale au plan (RST).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d_1\).
c. Soit le point H projeté orthogonal de A sur (RST).
Vérifier que ses coordonnées sont \((2{,}5 ; 6 ; 3)\).
4. a. Démontrer que le triangle RST est rectangle en S.
b. Vérifier que le volume du tétraèdre ARST est égal à \(\dfrac{625}{24}\) cm³.
Par ailleurs, on rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule :
\[V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\]
Partie B
Soit \(\text{M}(x ; y ; z)\) un point de la droite \(d_2\) de représentation paramétrique :
\[\begin{cases} x = -4{,}5 + s \\ y = 4 - 4s \\ z = 5{,}5 - 2s \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R}\]
1. Démontrer que \(\text{AM}^2 = 21s^2 + 24s + 21\).
2. Déterminer les coordonnées du point M de la droite \(d_2\) pour lesquelles la distance AM est minimale.
Comment aborder ce sujet de bac 2026, France, septembre, jour 2
L'énoncé du sujet de bac 2026, France, septembre, jour 2 du 9 septembre 2026 comporte quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (5 points) aborde : loi binomiale, logarithme et seuil, script Python, probabilités totales, récurrence et suite convergente. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) porte sur : fonction exponentielle : limites, croissances comparées, variations, théorème des valeurs intermédiaires, aire et primitive, position courbe-tangente. Puis, l'exercice 3 (5 points) porte sur : vrai ou faux : équation différentielle, intégration par parties, inéquation logarithmique, suite homographique, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Enfin, l'exercice 4 (5 points) traite : géométrie dans l'espace : vecteur normal, équation de plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volume du tétraèdre, distance minimale.
Ainsi, avec quatre heures pour vingt points, comptez environ douze minutes par point. Par exemple, l'exercice 1, noté sur 5 points, mérite à peu près 60 minutes. Enfin, gardez un quart d'heure pour relire vos résultats.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2026, France, septembre, jour 2
Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.
Quand vous avez fini, passez à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
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