Corrigé du bac S de maths 2020 : France, septembre

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Corrigé de l’exercice 1 (bac S 2020, France, septembre) 5 points

Limites et asymptotes, dérivée d'un quotient, primitives, volume par une intégrale, intervalle de fluctuation

Partie A

1. Limite de \(f\) en \(-\infty\) et interprétation.

Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(\text{e}^x\) tend vers 0. Le numérateur \(2\text{e}^x\) tend donc vers 0 et le dénominateur \(\text{e}^x+1\) tend vers 1. Par quotient, \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \dfrac{0}{1} = 0\).

Graphiquement, la courbe se rapproche de l'axe des abscisses vers la gauche : la droite d'équation \(y=0\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(-\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) ; l'axe des abscisses est asymptote à \(\mathcal{C}\) en \(-\infty\).

2. Asymptote \(y=2\).

En \(+\infty\), numérateur et dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\) : c'est une forme indéterminée. Ensuite, on la lève en divisant haut et bas par \(\text{e}^x\), qui n'est jamais nul : \(f(x) = \dfrac{2}{1+\text{e}^{-x}}\).

Comme \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} = 0\), le dénominateur tend vers 1 et \(f(x)\) tend vers 2.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\), donc la droite \(y=2\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\).

3. Calcul de \(f'(x)\).

\(f\) est le quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=2\text{e}^x\) et \(v(x)=\text{e}^x+1\), qui ne s'annule pas. Alors, on a \(u'(x)=2\text{e}^x\) et \(v'(x)=\text{e}^x\). La formule \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) donne :

\[f'(x) = \dfrac{2\text{e}^x(\text{e}^x+1) - 2\text{e}^x \times \text{e}^x}{(\text{e}^x+1)^2} = \dfrac{2\text{e}^{2x} + 2\text{e}^x - 2\text{e}^{2x}}{(\text{e}^x+1)^2} = \dfrac{2\text{e}^x}{(\text{e}^x+1)^2}.\]

Ensuite, on isole alors un facteur \(f(x)\) : \(\dfrac{2\text{e}^x}{(\text{e}^x+1)^2} = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x+1} \times \dfrac{1}{\text{e}^x+1} = \dfrac{f(x)}{\text{e}^x+1}\).

En conclusion : \(f'(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{(\text{e}^x+1)^2} = \dfrac{f(x)}{\text{e}^x+1}\) pour tout réel \(x\).

Question 4

4. Sens de variation de \(f\).

Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^x \gt 0\), donc \(2\text{e}^x \gt 0\) et \((\text{e}^x+1)^2 \gt 0\). La dérivée \(f'(x)\) est un quotient de deux nombres strictement positifs : elle est strictement positive.

En conclusion : \(f' \gt 0\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

5. Point I et pente de la tangente.

\(f(0) = \dfrac{2\text{e}^0}{\text{e}^0+1} = \dfrac{2}{2} = 1\) : le point \(\text{I}(0\,;\,1)\) est bien sur \(\mathcal{C}\).

Le coefficient directeur de la tangente en I est le nombre dérivé \(f'(0)\). Avec la question 3 : \(f'(0) = \dfrac{f(0)}{\text{e}^0+1} = \dfrac{1}{2}\).

En conclusion : \(\text{I}(0\,;\,1) \in \mathcal{C}\) et la tangente en I a pour coefficient directeur \(f'(0)=0{,}5\).

Partie B

1. Vérifier l'expression de \((f(x))^2\).

Par ailleurs, on part du membre de droite et on réduit au même dénominateur \((\text{e}^x+1)^2\) :

\[4\left(\dfrac{\text{e}^x(\text{e}^x+1)}{(\text{e}^x+1)^2} - \dfrac{\text{e}^x}{(\text{e}^x+1)^2}\right) = 4 \times \dfrac{\text{e}^{2x} + \text{e}^x - \text{e}^x}{(\text{e}^x+1)^2} = \dfrac{4\text{e}^{2x}}{(\text{e}^x+1)^2}.\]

Or \((f(x))^2 = \dfrac{(2\text{e}^x)^2}{(\text{e}^x+1)^2} = \dfrac{4\text{e}^{2x}}{(\text{e}^x+1)^2}\) : les deux expressions coïncident (l'égalité est même vraie pour tout réel \(x\)).

En conclusion : \((f(x))^2 = 4\left(\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+1} + \dfrac{-\text{e}^x}{(\text{e}^x+1)^2}\right)\).

2. Primitives de \(g\) et de \(h\).

Posons \(w(x) = \text{e}^x+1\) ; \(w\) est dérivable, strictement positive, et \(w'(x)=\text{e}^x\).

Ensuite, on reconnaît \(g = \dfrac{w'}{w}\). Une primitive de \(\dfrac{w'}{w}\) avec \(w \gt 0\) est \(\ln(w)\), donc \(G(x) = \ln(\text{e}^x+1)\) convient.

Par ailleurs, on reconnaît \(h = -\dfrac{w'}{w^2}\), qui est exactement la dérivée de \(\dfrac{1}{w}\). Donc \(H(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x+1}\) convient. Ensuite, on peut le contrôler : \(H'(x) = -\dfrac{\text{e}^x}{(\text{e}^x+1)^2} = h(x)\).

En conclusion : \(G(x) = \ln(\text{e}^x+1)\) est une primitive de \(g\) et \(H(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x+1}\) une primitive de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Expression de \(V(a)\).

D'après la question 1, \((f(x))^2 = 4\big(g(x)+h(x)\big)\). Par linéarité de l'intégrale, puis avec les primitives de la question 2 :

\[V(a) = 4\pi\displaystyle\int_0^a \big(g(x)+h(x)\big)\,\text{d}x = 4\pi\Big[\ln(\text{e}^x+1) + \dfrac{1}{\text{e}^x+1}\Big]_0^a.\]

En \(x=0\), le crochet vaut \(\ln 2 + \dfrac{1}{2}\). Donc :

\[V(a) = 4\pi\left[\ln(\text{e}^a+1) - \ln 2 + \dfrac{1}{\text{e}^a+1} - \dfrac{1}{2}\right] = 4\pi\left[\ln\left(\dfrac{\text{e}^a+1}{2}\right) + \dfrac{1}{\text{e}^a+1} - \dfrac{1}{2}\right],\]

la dernière étape utilisant \(\ln p - \ln q = \ln\dfrac{p}{q}\).

En conclusion : pour tout \(a \gt 0\), \(V(a) = 4\pi\left[\ln\left(\dfrac{\text{e}^a+1}{2}\right) + \dfrac{1}{\text{e}^a+1} - \dfrac{1}{2}\right]\).

Question 4

4. Valeur de \(a\) pour un volume de 125 \(\text{cm}^3\).

La fonction \(V\) est croissante (on intègre une fonction positive sur un intervalle de plus en plus long). Par ailleurs, on tabule \(V\) à la calculatrice : \(V(11{,}1) \approx 124{,}5\) et \(V(11{,}2) \approx 125{,}8\). La solution de \(V(a)=125\) est proche de \(11{,}14\).

En conclusion : \(a \approx 11{,}1\) (à 0,1 près), soit un contenant d'environ 11,1 cm de haut.

Partie C

Le lot de 400 flûtes avec 13 non conformes contredit-il l'affirmation des 98 % ?

Ensuite, on raisonne sur la proportion de flûtes non conformes, qui vaut \(p = 0{,}02\) si le responsable dit vrai. L'échantillon a pour taille \(n = 400\).

Conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation asymptotique : \(n = 400 \geqslant 30\), \(np = 8 \geqslant 5\) et \(n(1-p) = 392 \geqslant 5\). Elles sont remplies.

\[I = \left[p - 1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\,p + 1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right] = \left[0{,}02 - 1{,}96 \times 0{,}007\,;\,0{,}02 + 1{,}96 \times 0{,}007\right],\]

car \(\sqrt{\dfrac{0{,}02 \times 0{,}98}{400}} = \dfrac{0{,}14}{20} = 0{,}007\). Ainsi, on obtient \(I \approx [0{,}006\,;\,0{,}034]\) (borne inférieure arrondie par défaut, borne supérieure par excès).

La fréquence observée de flûtes non conformes est \(f = \dfrac{13}{400} = 0{,}0325\), qui appartient à \(I\).

En conclusion : \(0{,}0325 \in [0{,}006\,;\,0{,}034]\), donc au risque de 5 % le lot ne permet pas de mettre en doute l'affirmation du responsable.

Corrigé de l’exercice 2 (bac S 2020, France, septembre) 6 points

Loi normale, loi exponentielle et absence de mémoire, arbre pondéré, nombres complexes

Partie A

1. Probabilité qu'une boule soit conforme avec \(\sigma = 0{,}437\).

Alors, on cherche \(P(51 \leqslant M \leqslant 53)\) avec \(M\) de loi \(\mathcal{N}(52\,;\,0{,}437^2)\). La calculatrice (fonction de répartition de la loi normale, bornes 51 et 53, moyenne 52, écart type 0,437) donne \(P(51 \leqslant M \leqslant 53) \approx 0{,}978\).

Arrondi à \(10^{-1}\) près comme le demande l'énoncé, cela donne 1,0 ; la valeur au millième est plus parlante.

En conclusion : \(P(51 \leqslant M \leqslant 53) \approx 0{,}978\), soit environ 1,0 à \(10^{-1}\) près.

2. Plus grand \(\sigma\) pour lequel au moins 99 % des boules sont conformes.

Par ailleurs, on centre et on réduit : \(Z = \dfrac{M-52}{\sigma}\) suit la loi normale centrée réduite. Alors :

\[P(51 \leqslant M \leqslant 53) = P\left(-\dfrac{1}{\sigma} \leqslant Z \leqslant \dfrac{1}{\sigma}\right) = 2\Phi\left(\dfrac{1}{\sigma}\right) - 1,\]

où \(\Phi\) est la fonction de répartition de \(Z\). La condition \(2\Phi\left(\dfrac{1}{\sigma}\right) - 1 \geqslant 0{,}99\) équivaut à \(\Phi\left(\dfrac{1}{\sigma}\right) \geqslant 0{,}995\).

La fonction inverse de la loi normale donne \(\Phi(u) = 0{,}995\) pour \(u \approx 2{,}576\). Comme \(\Phi\) est croissante, il faut \(\dfrac{1}{\sigma} \geqslant 2{,}576\), c'est-à-dire \(\sigma \leqslant \dfrac{1}{2{,}576} \approx 0{,}388\).

En conclusion : la plus grande valeur de \(\sigma\) est environ \(0{,}388\) g.

Partie B

1. a) Encadrement de \(\lambda\) par lecture graphique.

La densité de la loi exponentielle est \(t \mapsto \lambda\text{e}^{-\lambda t}\) sur \([0\,;\,+\infty[\). En \(t=0\) elle vaut \(\lambda\) : \(\lambda\) est donc l'ordonnée du point de départ de la courbe. Ce point est situé un peu au-dessus de la graduation 0,05 et nettement sous 0,06.

En conclusion : \(0{,}05 \leqslant \lambda \leqslant 0{,}06\).

1. b) Valeur exacte de \(\lambda\).

L'aire grisée est l'intégrale de la densité entre 0 et 11, c'est-à-dire \(P(T \leqslant 11)\) :

\[\displaystyle\int_0^{11} \lambda\text{e}^{-\lambda t}\,\text{d}t = \Big[-\text{e}^{-\lambda t}\Big]_0^{11} = 1 - \text{e}^{-11\lambda}.\]

Ensuite, on résout \(1 - \text{e}^{-11\lambda} = 0{,}45\), soit \(\text{e}^{-11\lambda} = 0{,}55\). En appliquant la fonction \(\ln\) : \(-11\lambda = \ln(0{,}55)\).

En conclusion : \(\lambda = -\dfrac{\ln(0{,}55)}{11} = \dfrac{1}{11}\ln\left(\dfrac{20}{11}\right) \approx 0{,}0543\), ce qui est bien dans l'encadrement précédent.

2. Durée moyenne de fonctionnement.

L'espérance d'une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) vaut \(\dfrac{1}{\lambda}\). Ici \(E(T) = \dfrac{1}{0{,}054} \approx 18{,}52\).

En conclusion : une balance fonctionne en moyenne environ 19 jours avant de se dérégler.

3. Probabilité de tenir jusqu'au 31 janvier sachant qu'elle a tenu jusqu'au 20.

« Fonctionner du 1^er au 20 janvier inclus » correspond à l'évènement \(T \geqslant 20\), « jusqu'au 31 janvier inclus » à \(T \geqslant 31\). Alors, on cherche \(P_{(T \geqslant 20)}(T \geqslant 31)\).

La loi exponentielle est sans vieillissement : pour tous réels positifs \(s\) et \(h\), \(P_{(T \geqslant s)}(T \geqslant s+h) = P(T \geqslant h)\). Avec \(s=20\) et \(h=11\) :

\[P_{(T \geqslant 20)}(T \geqslant 31) = P(T \geqslant 11) = \text{e}^{-0{,}054 \times 11} = \text{e}^{-0{,}594} \approx 0{,}552.\]

En conclusion : la probabilité cherchée est \(\text{e}^{-0{,}594} \approx 0{,}552\).

Partie C

1. Compléter l'arbre pondéré.

Premier tirage dans \(U\) (4 boules : une « 1 », trois « \(-1\) ») : \(P(U_1) = \dfrac{1}{4}\) et \(P(U_{-1}) = \dfrac{3}{4}\).

Si on a tiré un 1, on le met dans \(V\), qui contient alors deux « 1 » et trois « 2 » : \(P_{U_1}(V_2) = \dfrac{3}{5}\) et \(P_{U_1}(V_1) = \dfrac{2}{5}\).

Si on a tiré un \(-1\), \(V\) contient un « 1 », trois « 2 » et un « \(-1\) » : \(P_{U_{-1}}(V_2) = \dfrac{3}{5}\), \(P_{U_{-1}}(V_1) = \dfrac{1}{5}\), \(P_{U_{-1}}(V_{-1}) = \dfrac{1}{5}\).

• \(U_1\) avec probabilité \(\dfrac{1}{4}\)
  • \(V_2\) : \(\dfrac{3}{5}\)
  • \(V_1\) : \(\dfrac{2}{5}\)
• \(U_{-1}\) avec probabilité \(\dfrac{3}{4}\)
  • \(V_2\) : \(\dfrac{3}{5}\)
  • \(V_1\) : \(\dfrac{1}{5}\)
  • \(V_{-1}\) : \(\dfrac{1}{5}\)

En conclusion : \(P(U_1)=\dfrac{1}{4}\), \(P(U_{-1})=\dfrac{3}{4}\) ; après \(U_1\) : \(\dfrac{3}{5}\) et \(\dfrac{2}{5}\) ; après \(U_{-1}\) : \(\dfrac{3}{5}\), \(\dfrac{1}{5}\) et \(\dfrac{1}{5}\).

2. a) Probabilité de \(A\) : « \(z = -1-\text{i}\) ».

\(z = -1-\text{i}\) signifie \(x=-1\) et \(y=-1\), c'est-à-dire l'évènement \(U_{-1} \cap V_{-1}\). En suivant le chemin de l'arbre : \(P(A) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{20}\).

En conclusion : \(P(A) = \dfrac{3}{20} = 0{,}15\).

2. b) Probabilité de \(B\) : \(z\) solution de \(t^2+2t+5=0\).

Le discriminant vaut \(\Delta = 2^2 - 4 \times 5 = -16 = (4\text{i})^2\). L'équation a deux solutions complexes conjuguées : \(t = \dfrac{-2 \pm 4\text{i}}{2}\), soit \(-1+2\text{i}\) et \(-1-2\text{i}\).

Le nombre \(y\) ne peut valoir que \(-1\), 1 ou 2 : la solution \(-1-2\text{i}\) (qui demanderait \(y=-2\)) est impossible. Reste \(z = -1+2\text{i}\), c'est-à-dire \(U_{-1} \cap V_2\), de probabilité \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{20}\).

En conclusion : \(P(B) = \dfrac{9}{20} = 0{,}45\).

Question 2 c

2. c) Probabilité de \(C\) : \(M\) dans le disque de centre O et de rayon 2.

\(M\) est dans ce disque si et seulement si \(|z| \leqslant 2\), c'est-à-dire \(x^2+y^2 \leqslant 4\). Ensuite, on passe en revue les cinq issues possibles :

Par ailleurs, on additionne les probabilités des issues favorables (elles sont incompatibles) : \(\dfrac{2}{20} + \dfrac{3}{20} + \dfrac{3}{20} = \dfrac{8}{20}\).

En conclusion : \(P(C) = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).

3. Montrer que \(z^{2020} = -2^{1010}\) quand les deux boules portent 1.

Ici \(x = y = 1\), donc \(z = 1+\text{i}\). Plutôt que la forme exponentielle, on peut passer par le carré : \(z^2 = (1+\text{i})^2 = 1 + 2\text{i} + \text{i}^2 = 2\text{i}\).

Comme \(2020 = 2 \times 1010\), \(z^{2020} = (z^2)^{1010} = (2\text{i})^{1010} = 2^{1010} \times \text{i}^{1010}\).

Or \(\text{i}^4 = 1\) et \(1010 = 4 \times 252 + 2\), donc \(\text{i}^{1010} = (\text{i}^4)^{252} \times \text{i}^2 = -1\).

En conclusion : \(z^{2020} = 2^{1010} \times (-1) = -2^{1010}\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac S 2020, France, septembre) 4 points

Vecteur normal et équation de plan, parallélisme droite-plan, projeté orthogonal, sphère et intersection avec une droite

1. a) \(\overrightarrow{n}\) est normal à \(\mathcal{P}\).

Alors, on calcule deux vecteurs du plan : \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-6\end{pmatrix}\). Ils ne sont pas colinéaires : le rapport des premières coordonnées vaut \(\dfrac{2}{3}\), celui des deuxièmes \(-1\). Les points A, B, C définissent donc bien un plan.

Produits scalaires : \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 1 \times 3 + (-4) \times 1 + 1 \times 1 = 0\) et \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 2 + 4 - 6 = 0\).

En conclusion : \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de \(\mathcal{P}\), c'est donc un vecteur normal à \(\mathcal{P}\).

1. b) Équation cartésienne de \(\mathcal{P}\).

Un plan de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(1\,;\,-4\,;\,1)\) a une équation de la forme \(x - 4y + z + d = 0\). Le point A en fait partie : \(1 - 4 + 4 + d = 0\), d'où \(d = -1\). Par ailleurs, on contrôle avec B : \(4 - 8 + 5 - 1 = 0\), et avec C : \(3 - 0 - 2 - 1 = 0\).

En conclusion : \(\mathcal{P} : x - 4y + z - 1 = 0\).

1. c) \(\mathcal{D}\) est parallèle à \(\mathcal{P}\).

Une droite est parallèle à un plan lorsque son vecteur directeur est orthogonal à un vecteur normal du plan. Ici \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 1 - 4 + 3 = 0\).

Ensuite, on peut préciser : J vérifie \(1 - 16 + 2 - 1 = -14 \neq 0\), donc J n'est pas dans \(\mathcal{P}\) et la droite est strictement parallèle au plan.

En conclusion : \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 0\), donc \(\mathcal{D}\) est parallèle à \(\mathcal{P}\) (et même strictement, car \(\text{J} \notin \mathcal{P}\)).

Question 2 a

2. a) La perpendiculaire \(\Delta\) à \(\mathcal{P}\) passant par I coupe \(\mathcal{P}\) en H.

\(\Delta\) est dirigée par \(\overrightarrow{n}\) et passe par \(\text{I}(1\,;\,9\,;\,0)\). Une représentation paramétrique est : \(x = 1 + k\), \(y = 9 - 4k\), \(z = k\), avec \(k \in \mathbb{R}\).

Alors, on injecte dans l'équation du plan : \((1+k) - 4(9-4k) + k - 1 = 0\), soit \(18k - 36 = 0\), d'où \(k = 2\).

Le point de paramètre \(k=2\) a pour coordonnées \((1+2\,;\,9-8\,;\,2) = (3\,;\,1\,;\,2)\).

En conclusion : \(\Delta\) coupe \(\mathcal{P}\) au point \(\text{H}(3\,;\,1\,;\,2)\).

2. b) Distance IH.

\(\overrightarrow{\text{IH}}\begin{pmatrix}2\\-8\\2\end{pmatrix}\), donc \(\text{IH}^2 = 4 + 64 + 4 = 72\) et \(\text{IH} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}\).

En conclusion : \(\text{IH} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\).

2. c) Le plan coupe-t-il la sphère ?

Pour tout point \(M\) de \(\mathcal{P}\), on admet \(\text{I}M \geqslant \text{IH} = 6\sqrt{2}\). Comme \(\sqrt{2} \gt 1\), \(6\sqrt{2} \gt 6\) : tout point du plan est à une distance de I strictement supérieure au rayon. Aucun point de \(\mathcal{P}\) ne peut vérifier \(\text{I}M = 6\).

En conclusion : non, le plan \(\mathcal{P}\) ne coupe pas la sphère \(\mathcal{S}\).

3. a) Représentation paramétrique de \(\mathcal{D}\).

\(M(x\,;\,y\,;\,z) \in \mathcal{D}\) si et seulement s'il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{\text{J}M} = t\,\overrightarrow{u}\).

En conclusion : \(\mathcal{D} : \left\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 4 + t \\ z = 2 + 3t \end{array}\right.\) avec \(t \in \mathbb{R}\).

Question 3 b

3. b) Équation de la sphère.

Par définition, \(M \in \mathcal{S}\) si et seulement si \(\text{I}M = 6\). Une distance étant positive, cela équivaut à \(\text{I}M^2 = 36\). Dans un repère orthonormé, \(\text{I}M^2 = (x-1)^2 + (y-9)^2 + (z-0)^2\).

En conclusion : \(M(x\,;\,y\,;\,z) \in \mathcal{S} \iff (x-1)^2 + (y-9)^2 + z^2 = 36\).

3. c) \(\mathcal{D}\) coupe la sphère en deux points distincts.

Le point de paramètre \(t\) de \(\mathcal{D}\) est sur \(\mathcal{S}\) si et seulement si \((1+t-1)^2 + (4+t-9)^2 + (2+3t)^2 = 36\), soit \(t^2 + (t-5)^2 + (3t+2)^2 = 36\).

Puis on développe : \(t^2 + t^2 - 10t + 25 + 9t^2 + 12t + 4 = 36\), c'est-à-dire \(11t^2 + 2t - 7 = 0\).

Son discriminant est \(\Delta = 2^2 - 4 \times 11 \times (-7) = 4 + 308 = 312 \gt 0\) : l'équation a deux solutions réelles distinctes, donc deux valeurs de \(t\) et deux points d'intersection distincts.

En conclusion : l'équation \(11t^2 + 2t - 7 = 0\) a un discriminant de 312, strictement positif, donc \(\mathcal{D}\) coupe \(\mathcal{S}\) en deux points distincts.

Corrigé de l’exercice 4 (bac S 2020, France, septembre) — candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 5 points

Suite définie par un produit, algorithme, suite monotone et bornée, récurrence, logarithme d'un produit

1. Vérifier \(v_2 = \dfrac{2}{3}\) et calculer \(v_3\).

\(u_1 = \dfrac{1 \times 3}{2^2} = \dfrac{3}{4}\), \(u_2 = \dfrac{2 \times 4}{3^2} = \dfrac{8}{9}\) et \(u_3 = \dfrac{3 \times 5}{4^2} = \dfrac{15}{16}\).

\(v_2 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\), puis \(v_3 = v_2 \times u_3 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{15}{16} = \dfrac{30}{48} = \dfrac{5}{8}\).

En conclusion : \(v_2 = \dfrac{2}{3}\) et \(v_3 = \dfrac{5}{8}\).

2. Compléter l'algorithme.

À chaque tour de boucle, on calcule le terme \(u_i\) puis on multiplie \(V\) par ce terme. Comme \(V\) part de 1, après le tour \(i\) il contient \(u_1 \times \ldots \times u_i = v_i\).

V ← 1
Pour i variant de 1 à n
    U ← i(i + 2) / (i + 1)²
    V ← V × U
Fin Pour

En conclusion : ligne 3, \(U \leftarrow \dfrac{i(i+2)}{(i+1)^2}\) ; ligne 4, \(V \leftarrow V \times U\).

3. a) \(u_n = 1 - \dfrac{1}{(n+1)^2}\).

Par ailleurs, on part de la forme proposée et on réduit au même dénominateur : \(1 - \dfrac{1}{(n+1)^2} = \dfrac{(n+1)^2 - 1}{(n+1)^2} = \dfrac{n^2 + 2n + 1 - 1}{(n+1)^2} = \dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}\).

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(u_n = 1 - \dfrac{1}{(n+1)^2}\).

3. b) \(0 \lt u_n \lt 1\).

Pour \(n \geqslant 1\), \(n\), \(n+2\) et \((n+1)^2\) sont strictement positifs, donc \(u_n \gt 0\) d'après sa définition.

D'autre part \(\dfrac{1}{(n+1)^2} \gt 0\), donc avec la question précédente \(u_n = 1 - \dfrac{1}{(n+1)^2} \lt 1\).

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(0 \lt u_n \lt 1\).

Question 4 a

4. a) \(\left(v_n\right)\) est décroissante.

Tous les \(u_k\) sont strictement positifs, donc leur produit \(v_n\) aussi. Ensuite, on peut alors comparer par un quotient : \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = u_{n+1}\), car \(v_{n+1} = v_n \times u_{n+1}\).

D'après 3. b), \(u_{n+1} \lt 1\), donc \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n} \lt 1\) et, puisque \(v_n \gt 0\), \(v_{n+1} \lt v_n\).

En conclusion : la suite \(\left(v_n\right)\) est strictement décroissante.

4. b) \(\left(v_n\right)\) converge.

La suite est décroissante et minorée par 0 (tous ses termes sont strictement positifs). Le théorème de convergence monotone s'applique.

En conclusion : \(\left(v_n\right)\), décroissante et minorée par 0, est convergente.

5. a) Relation entre \(v_{n+1}\) et \(v_n\).

Par définition \(v_{n+1} = v_n \times u_{n+1}\). En remplaçant \(n\) par \(n+1\) dans l'expression de \(u_n\) : \(u_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+1+2)}{(n+1+1)^2} = \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}\).

En conclusion : \(v_{n+1} = v_n \times \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}\) pour tout \(n \geqslant 1\).

5. b) Démontrer \(v_n = \dfrac{n+2}{2(n+1)}\) par récurrence.

Notons \(\mathcal{P}(n)\) : « \(v_n = \dfrac{n+2}{2(n+1)}\) ».

Initialisation. \(v_1 = u_1 = \dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{1+2}{2 \times 2} = \dfrac{3}{4}\) : \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n \geqslant 1\). Avec 5. a) :

\[v_{n+1} = \dfrac{n+2}{2(n+1)} \times \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2} = \dfrac{n+3}{2(n+2)},\]

après simplification par \(n+1\) et par \(n+2\). Or \(\dfrac{(n+1)+2}{2\big((n+1)+1\big)} = \dfrac{n+3}{2(n+2)}\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire.

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(v_n = \dfrac{n+2}{2(n+1)}\).

Question 5 c

5. c) Limite de \(\left(v_n\right)\).

Puis on factorise par \(n\) en haut et en bas : \(v_n = \dfrac{n\left(1 + \frac{2}{n}\right)}{2n\left(1 + \frac{1}{n}\right)} = \dfrac{1 + \frac{2}{n}}{2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}\). Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(\dfrac{2}{n}\) et \(\dfrac{1}{n}\) tendent vers 0.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \dfrac{1}{2}\).

6. Montrer que \(w_7 = 2w_1\).

La somme de logarithmes est le logarithme du produit (tous les \(u_k\) sont strictement positifs) : \(w_n = \ln(u_1 \times u_2 \times \ldots \times u_n) = \ln(v_n)\).

Avec 5. b) : \(v_7 = \dfrac{9}{2 \times 8} = \dfrac{9}{16} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\). Donc \(w_7 = \ln\left(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\right) = 2\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)\).

Or \(w_1 = \ln(u_1) = \ln\left(\dfrac{3}{4}\right)\).

En conclusion : \(w_7 = 2\ln\left(\dfrac{3}{4}\right) = 2w_1\).

Corrigé de l’exercice 4 (bac S 2020, France, septembre) — candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 points

Congruences, PGCD et Bézout, petit cycle des puissances de 2 modulo 7, algorithme, suites matricielles et récurrence

Partie A

1. a) \(a_n\) et \(b_n\) sont congrus à 0 modulo 4.

Comme \(5 = 4 + 1\), on a \(5 \equiv 1\ [4]\) et, en élevant à la puissance \(n\), \(5^n \equiv 1\ [4]\).

Donc \(a_n = 6 \times 5^n - 2 \equiv 6 - 2 = 4 \equiv 0\ [4]\) et \(b_n = 3 \times 5^n + 1 \equiv 3 + 1 = 4 \equiv 0\ [4]\).

En conclusion : pour tout \(n\), \(a_n \equiv 0\ [4]\) et \(b_n \equiv 0\ [4]\).

1. b) Calcul de \(2b_n - a_n\).

\(2b_n - a_n = 6 \times 5^n + 2 - 6 \times 5^n + 2\) : les termes en \(5^n\) s'éliminent.

En conclusion : \(2b_n - a_n = 4\) pour tout entier naturel \(n\).

1. c) PGCD de \(a_n\) et \(b_n\).

Soit \(d\) le PGCD de \(a_n\) et \(b_n\). Il divise \(a_n\) et \(b_n\), donc toute combinaison entière, en particulier \(2b_n - a_n = 4\). Ainsi \(d\) est un diviseur positif de 4 : 1, 2 ou 4.

Mais d'après 1. a), 4 est un diviseur commun de \(a_n\) et \(b_n\), donc \(d \geqslant 4\).

En conclusion : \(\text{PGCD}(a_n, b_n) = 4\) pour tout \(n\).

2. a) \(b_{2020} \equiv 3 \times 2^{2020} + 1\ [7]\).

Ainsi, on a \(5 = 7 - 2\), donc \(5 \equiv -2\ [7]\) et \(5^{2020} \equiv (-2)^{2020}\ [7]\). L'exposant 2020 étant pair, \((-2)^{2020} = 2^{2020}\).

En conclusion : \(b_{2020} = 3 \times 5^{2020} + 1 \equiv 3 \times 2^{2020} + 1\ [7]\).

Question 2 b

2. b) \(b_{2020}\) est divisible par 7.

La clé est que \(2^3 = 8 \equiv 1\ [7]\). Avec \(2020 = 3 \times 673 + 1\) : \(2^{2020} = (2^3)^{673} \times 2 \equiv 1^{673} \times 2 = 2\ [7]\).

Donc \(b_{2020} \equiv 3 \times 2 + 1 = 7 \equiv 0\ [7]\).

En conclusion : \(b_{2020} \equiv 0\ [7]\), donc 7 divise \(b_{2020}\).

2. c) \(a_{2020}\) est-il divisible par 7 ?

Alors, on utilise la relation de 1. b) : \(a_{2020} = 2b_{2020} - 4\). Comme \(b_{2020} \equiv 0\ [7]\), on obtient \(a_{2020} \equiv -4 \equiv 3\ [7]\).

Ensuite, on peut aussi le voir sans calcul : si 7 divisait aussi \(a_{2020}\), il diviserait le PGCD de \(a_{2020}\) et \(b_{2020}\), qui vaut 4, ce qui est absurde.

En conclusion : \(a_{2020} \equiv 3\ [7]\), donc \(a_{2020}\) n'est pas divisible par 7.

Partie B

1. Compléter le tableau pour \(N=2\).

Au deuxième passage dans la boucle (\(K = 1 \lt 2\)), l'algorithme calcule d'abord \(U = 3 \times 7 + 4 \times 10 = 61\), puis \(V = U + 3V\) avec la nouvelle valeur de \(U\) : \(V = 61 + 30 = 91\), et enfin \(K = 2\). La condition \(K \lt 2\) est alors fausse, la boucle s'arrête.

En conclusion : la dernière ligne est \(U = 61\), \(V = 91\), \(K = 2\).

2. L'algorithme calcule-t-il \(u_N\) et \(v_N\) ?

Calculons les vraies valeurs au rang 1 : \(u_1 = 3 \times 1 + 4 \times 1 = 7\) et \(v_1 = u_0 + 3v_0 = 1 + 3 = 4\). L'algorithme affiche \(V = 10\) au lieu de 4 : l'erreur vient de la ligne 6, qui utilise \(u_{n+1}\) (déjà écrasé dans \(U\)) au lieu de \(u_n\).

Pour corriger, on sauvegarde l'ancienne valeur de \(U\) dans une variable auxiliaire \(W\) avant de la modifier :

U ← 1
V ← 1
K ← 0
Tant que K < N
    W ← U
    U ← 3U + 4V
    V ← W + 3V
    K ← K + 1
Fin Tant que

Avec cette version et \(N=2\), on obtient \(U = 3 \times 7 + 4 \times 4 = 37\) et \(V = 7 + 3 \times 4 = 19\), qui sont bien \(u_2\) et \(v_2\).

En conclusion : non, l'algorithme donné est faux dès le rang 1 (\(v_1 = 4\), pas 10) ; il faut mémoriser l'ancien \(U\) avant de calculer \(V\).

Partie C

1. Matrice \(A\) telle que \(X_{n+1} = AX_n\).

Les coefficients se lisent directement sur le système : la première ligne donne \(3u_n + 4v_n\), la seconde \(1 \times u_n + 3v_n\).

En conclusion : \(A = \begin{pmatrix}3 & 4\\ 1 & 3\end{pmatrix}\).

2. Montrer \(X_n = A^nX_0\) par récurrence.

Initialisation. \(A^0 = I_2\) (matrice identité), donc \(A^0X_0 = X_0\) : la propriété est vraie pour \(n=0\).

Hérédité. Supposons \(X_n = A^nX_0\) pour un entier \(n \geqslant 0\). Alors \(X_{n+1} = AX_n = A(A^nX_0) = (A \times A^n)X_0 = A^{n+1}X_0\), grâce à l'associativité du produit matriciel.

Conclusion. Vraie pour \(n=0\) et héréditaire, la propriété est vraie pour tout \(n\).

En conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(X_n = A^nX_0\).

3. Montrer \(u_n = \dfrac{a_n}{4}\) et \(v_n = \dfrac{b_n}{4}\).

Avec \(X_0 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\), le produit \(A^nX_0\) additionne les deux coefficients de chaque ligne :

\[u_n = \dfrac{1}{4}\big(2 \times 5^n + 2 + 4 \times 5^n - 4\big) = \dfrac{6 \times 5^n - 2}{4} = \dfrac{a_n}{4},\]

\[v_n = \dfrac{1}{4}\big(5^n - 1 + 2 \times 5^n + 2\big) = \dfrac{3 \times 5^n + 1}{4} = \dfrac{b_n}{4}.\]

Contrôle pour \(n=1\) : \(\dfrac{a_1}{4} = \dfrac{28}{4} = 7 = u_1\) et \(\dfrac{b_1}{4} = \dfrac{16}{4} = 4 = v_1\).

En conclusion : pour tout \(n\), \(u_n = \dfrac{a_n}{4}\) et \(v_n = \dfrac{b_n}{4}\).

Question 4

4. \(u_n\) et \(v_n\) sont premiers entre eux.

D'après la partie A, \(a_n\) et \(b_n\) sont multiples de 4, donc \(u_n\) et \(v_n\) sont des entiers. En divisant la relation \(2b_n - a_n = 4\) par 4, on obtient \(2v_n - u_n = 1\), c'est-à-dire \(2 \times v_n + (-1) \times u_n = 1\).

D'après le théorème de Bézout, l'existence d'entiers \(\alpha = 2\) et \(\beta = -1\) tels que \(\alpha v_n + \beta u_n = 1\) prouve que \(u_n\) et \(v_n\) sont premiers entre eux.

En conclusion : \(2v_n - u_n = 1\), donc \(u_n\) et \(v_n\) sont premiers entre eux pour tout \(n\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Face à une forme indéterminée avec des exponentielles, on factorise par le terme dominant (ici diviser par \(\text{e}^x\)) pour faire apparaître \(\text{e}^{-x}\), qui tend vers 0.
• Pour trouver une primitive, on cherche à reconnaître \(\dfrac{u'}{u}\) (primitive \(\ln u\) si \(u \gt 0\)) ou \(-\dfrac{u'}{u^2}\) (primitive \(\dfrac{1}{u}\)) : l'énoncé prépare souvent la décomposition.
• La loi exponentielle est sans vieillissement : « sachant qu'elle a tenu 20 jours, tenir 11 jours de plus » a la même probabilité que « tenir 11 jours ».
• Dans un algorithme qui met à jour deux variables liées, écraser une valeur avant de s'en servir fausse le calcul : il faut une variable auxiliaire.
• Une relation du type \(\alpha a + \beta b = 1\) (ou \(= 4\)) donne immédiatement une information sur le PGCD grâce au théorème de Bézout.
• Pour l'intersection droite-sphère, on remplace les coordonnées paramétrées dans l'équation de la sphère et on étudie le signe du discriminant.

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Présentation du corrigé du bac S 2020, France, septembre

Cette correction complète du bac S 2020, France, septembre du 11 septembre 2020 explique les cinq exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) porte sur : limites et asymptotes, dérivée d'un quotient, primitives, volume par une intégrale, intervalle de fluctuation. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (6 points) aborde : loi normale, loi exponentielle et absence de mémoire, arbre pondéré, nombres complexes. Puis, la correction de l'exercice 3 (4 points) traite : vecteur normal et équation de plan, parallélisme droite-plan, projeté orthogonal, sphère et intersection avec une droite. Puis, la correction de l'exercice 4 (5 points) porte sur : suite définie par un produit, algorithme, suite monotone et bornée, récurrence, logarithme d'un produit. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) traite : congruences, PGCD et Bézout, petit cycle des puissances de 2 modulo 7, algorithme, suites matricielles et récurrence.

Lisez chaque solution en vous demandant pourquoi telle méthode s'impose. En effet, c'est ce raisonnement qui resservira sur un autre sujet. Par ailleurs, refaites seul les calculs les plus longs sans regarder la rédaction.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac S 2020, France, septembre

Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.

Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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