Sujet du bac S de maths 2020 : France, septembre
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Baccalauréat S — Mathématiques — Session 2020
France, La Réunion, Mayotte — Session de septembre — 11 septembre 2020
Durée : 4 heures
Exercice 1 (sujet de bac S 2020, France, septembre) 5 points
Commun à tous les candidats
Partie A
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.\]
Par ailleurs, on donne ci-dessous la courbe représentative \(\mathcal{C}\) de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé.
1. Calculer la limite de la fonction \(f\) en moins l'infini et interpréter graphiquement le résultat.
2. Montrer que la droite d'équation \(y = 2\) est asymptote horizontale à la courbe \(\mathcal{C}\).
3. Calculer \(f'(x)\), \(f'\) étant la fonction dérivée de \(f\), et vérifier que pour tout nombre réel \(x\) on a :
\[f'(x) = \dfrac{f(x)}{\text{e}^x + 1}.\]
4. Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
5. Montrer que la courbe \(\mathcal{C}\) passe par le point \(\text{I}(0\,;\,1)\) et que sa tangente en ce point a pour coefficient directeur \(0{,}5\).
Partie B
Une entreprise souhaite fabriquer de façon automatisée des flûtes (verres à pied) de forme allongée de contenance \(12{,}5\) cL. Chaque flûte est composée de deux parties comme sur l'illustration ci-dessous : un pied, en verre plein, et un contenant de \(12{,}5\) cL.
À l'aide de la fonction \(f\) définie dans la partie A, le fabricant modélise le profil du contenant de la flûte de la manière décrite ci-dessous.
Soit A un point de \(\mathcal{C}\) d'abscisse \(a\) strictement positive. La rotation autour de l'axe des abscisses appliquée à la partie de \(\mathcal{C}\) limitée par les points I et A engendre une surface modélisant le contenant de la flûte en prenant pour unité 1 cm.
Ainsi \(x\) et \(f(x)\) représentent des longueurs en centimètres et l'objectif de cette partie est de déterminer la valeur de \(a\) pour que le volume du contenant soit égal à \(12{,}5\) cL.
| Une unité représente 1 cm. La valeur de \(a\) utilisée sur le graphique ci-dessus ne correspond pas à la valeur cherchée. |
Le réel \(a\) étant strictement positif, on admet que le volume \(V(a)\) de ce solide en \(\text{cm}^3\) est donné par la formule :
\[V(a) = \pi\displaystyle\int_0^a (f(x))^2\,\text{d}x.\]
1. Vérifier, pour tout nombre réel \(x \geqslant 0\), l'égalité :
\[(f(x))^2 = 4\left(\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} + \dfrac{- \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\right).\]
2. Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de chacune des fonctions :
\[g : x \longmapsto \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\quad \text{et} \quad h : x \longmapsto \dfrac{-\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}.\]
Question 3
3. En déduire que pour tout réel \(a \gt 0\) :
\[V(a) = 4\pi\left[\ln \left(\dfrac{\text{e}^a + 1}{2} \right) + \dfrac{1}{\text{e}^a + 1} - \dfrac{1}{2}\right].\]
4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de \(a\) à \(0{,}1\) près, sachant qu'une flûte doit contenir 12,5 cL, c'est-à-dire 125 \(\text{cm}^3\). Aucune justification n'est attendue.
Partie C
Un client commande un lot de 400 flûtes de \(12{,}5\) cL et constate que 13 d'entre elles ne sont pas conformes aux caractéristiques annoncées par le fabricant.
Le responsable des ventes lui avait pourtant affirmé que 98 % des flûtes vendues par l'entreprise étaient conformes.
Le lot de ce client permet-il, au risque de 5 %, de mettre en doute l'affirmation du responsable ?
Exercice 2 (sujet de bac S 2020, France, septembre) 6 points
Commun à tous les candidats
Partie A
Une machine fabrique des boules destinées à un jeu de hasard.
La masse en grammes, de chacune de ces boules peut être modélisée par une variable aléatoire \(M\) suivant une loi normale d'espérance 52 et d'écart type \(\sigma\).
Les boules dont la masse est comprise entre 51 et 53 grammes sont dites conformes.
1. Avec les réglages initiaux de la machine on a \(\sigma = 0{,}437\).
Dans ces conditions, calculer la probabilité qu'une boule fabriquée par cette machine soit conforme. En outre, on donnera une valeur approchée à \(10^{-1}\) près du résultat.
2. Puis on considère que la machine est correctement réglée si au moins 99 % des boules qu'elle fabrique sont conformes.
Déterminer une valeur approchée de la plus grande valeur de \(\sigma\) qui permet d'affirmer que la machine est correctement réglée.
Partie B
La pesée des boules se fait sur des balances électroniques de précision. Chaque jour, on vérifie que la balance n'est pas déréglée. La durée, en jour, d'utilisation de ces balances avant dérèglement est modélisée par une variable aléatoire \(T\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). La courbe représentative de la fonction densité de cette variable aléatoire \(T\) est donnée ci-dessous.
1. a. Par lecture graphique, donner un encadrement de \(\lambda\) d'amplitude \(0{,}01\).
b. L'aire du domaine grisé, en unité d'aire, est égale à \(0{,}45\). Déterminer la valeur exacte de \(\lambda\).
Dans la suite, on prendra \(\lambda = 0{,}054\).
2. Déterminer, à un jour près, la durée moyenne d'utilisation d'une balance sans qu'elle ne se dérègle.
3. Une balance est mise en service le 1er janvier 2020. Elle fonctionne sans se dérégler du 1er au 20 janvier inclus.
Déterminer la probabilité qu'elle fonctionne sans se dérégler jusqu'au 31 janvier inclus.
Partie C
On dispose de deux urnes \(U\) et \(V\) contenant des boules fabriquées comme précédemment. Sur chacune des boules est inscrit l'un des nombres \(-1\), 1, ou 2.
L'urne \(U\) contient une boule portant le nombre 1 et trois boules portant le nombre \(-1\).
L'urne \(V\) contient une boule portant le nombre 1 et trois boules portant le nombre 2.
Désormais, on considère un jeu dans lequel chaque partie se déroule de la manière suivante : dans un premier temps on tire au hasard une boule dans l'urne \(U\), on note \(x\) le nombre inscrit sur cette boule puis on la met dans l'urne \(V\). Dans un deuxième temps, on tire au hasard une boule dans l'urne \(V\) et on note \(y\) le nombre inscrit sur cette boule.
Ensuite, on considère les évènements suivants :
- \(U_1\) : « on tire une boule portant le nombre 1 dans l'urne \(U\), c'est-à-dire \(x = 1\) » ;
- \(U_{-1}\) : « on tire une boule portant le nombre \(-1\) dans l'urne \(U\) c'est-à-dire \(x = -1\) » ;
- \(V_2\) : « on tire une boule portant le nombre 2 dans l'urne \(V\) c'est-à-dire \(y = 2\) » ;
- \(V_1\) : « on tire une boule portant le nombre 1 dans l'urne \(V\) c'est-à-dire \(y = 1\) » ;
- \(V_{-1}\) : « on tire une boule portant le nombre \(-1\) dans l'urne \(V\) », c'est-à-dire \(y = -1\).
1. Recopier et compléter l'arbre pondéré représenté ci-dessous.
2. Dans ce jeu, à chaque partie on associe le nombre complexe \(z = x + \text{i}y\).
Calculer les probabilités des évènements suivants. Les réponses seront justifiées.
a. \(A\) : « \(z = -1 - \text{i}\) » ;
b. \(B\) : « \(z\) est solution de l'équation \(t^2 + 2t + 5 = 0\) » ;
c. \(C\) : « Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \(\left(\text{O}\,;\,\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}\right)\) le point \(M\) d'affixe \(z\) appartient au disque de centre O et de rayon 2 ».
Question 3
3. Lors d'une partie, on obtient le nombre 1 sur chacune des boules tirées. Montrer que le nombre complexe \(z\) associé à cette partie vérifie \(z^{2020} = -2^{1010}\).
Exercice 3 (sujet de bac S 2020, France, septembre) 4 points
Commun à tous les candidats
L'objectif de cet exercice est de déterminer les positions relatives de différents objets de l'espace.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O}\,;\,\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j},\,\overrightarrow{k}\right)\).
Puis on considère les points \(\text{A}(1\,;\,1\,;\,4)\) ; \(\text{B}(4\,;\,2\,;\,5)\) ; \(\text{C}(3\,;\,0\,;\,-2)\) et \(\text{J}(1\,;\,4\,;\,2)\).
Désormais, on note :
- \(\mathcal{P}\) le plan passant par les points A, B et C ;
- \(\mathcal{D}\) la droite passant par le point J et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\).
1. Position relative de \(\mathcal{P}\) et de \(\mathcal{D}\)
a. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\-4\\1\end{pmatrix}\) est normal à \(\mathcal{P}\).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\).
c. Montrer que \(\mathcal{D}\) est parallèle à \(\mathcal{P}\).
En outre, on rappelle que, un point I et un nombre réel strictement positif \(r\) étant donnés, la sphère de centre I et de rayon \(r\) est l'ensemble des points \(M\) de l'espace vérifiant \(\text{I}M = r\).
Puis on considère le point \(\text{I}(1\,;\,9\,;\,0)\) et on appelle \(\mathcal{S}\) la sphère de centre I et de rayon 6.
2. Position relative de \(\mathcal{P}\) et de \(\mathcal{S}\)
a. Montrer que la droite \(\Delta\) passant par I et orthogonale au plan \(\mathcal{P}\) coupe ce plan \(\mathcal{P}\) au point \(\text{H}(3\,;\,1\,;\,2)\).
b. Calculer la distance IH.
En outre, on admet que pour tout point \(M\) du plan \(\mathcal{P}\) on a \(\text{I}M \geqslant \text{IH}\).
c. Le plan \(\mathcal{P}\) coupe-t-il la sphère \(\mathcal{S}\) ? Justifier la réponse.
3. Position relative de \(\mathcal{D}\) et de \(\mathcal{S}\)
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}\).
Question 3 b
b. Montrer qu'un point \(M\) de coordonnées \((x\,;\,y\,;\,z)\) appartient à la sphère \(\mathcal{S}\) si et seulement si :
\[(x - 1)^2 + (y - 9)^2 + z^2 = 36.\]
c. Montrer que la droite \(\mathcal{D}\) coupe la sphère en deux points distincts.
Ensuite, on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées de ces points.
Exercice 4 (sujet de bac S 2020, France, septembre) — candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 5 points
On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie, pour tout entier naturel non nul \(n\), par :
\[u_n = \dfrac{n(n + 2)}{(n + 1)^2}.\]
La suite \(\left(v_n\right)\) est définie par :
\(v_1 = u_1\), \(v_2 = u_1 \times u_2\) et pour tout entier naturel \(n \geqslant 3\), \(v_n = u_1 \times u_2 \times \ldots \times u_n = v_{n-1} \times u_n\).
1. Vérifier que l'on a \(v_2 = \dfrac{2}{3}\) puis calculer \(v_3\).
2. Puis on considère l'algorithme incomplet ci-dessous. Recopier et compléter sur la copie cet algorithme afin que, après son exécution, la variable \(V\) contienne la valeur \(v_n\) où \(n\) est un nombre entier naturel non nul défini par l'utilisateur.
Aucune justification n'est attendue.
| Algorithme | |
|---|---|
| 1. | \(V \leftarrow 1\) |
| 2. | Pour \(i\) variant de 1 à \(n\) |
| 3. | \(\quad U \leftarrow \dfrac{\ldots (\ldots + 2)}{(\ldots + 1)^2}\) |
| 4. | \(\quad V \leftarrow \ldots\) |
| 5. | Fin Pour |
3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n = 1 - \dfrac{1}{(n + 1)^2}\).
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(0 \lt u_n \lt 1\).
4. a. Montrer que la suite \(\left(v_n\right)\) est décroissante.
b. Justifier que la suite \(\left(v_n\right)\) est convergente (on ne demande pas de calculer sa limite).
5. a. Vérifier que, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(v_{n+1} = v_n \times \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}\).
b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(v_n = \dfrac{n + 2}{2(n + 1)}\).
c. Déterminer la limite de la suite \(\left(v_n\right)\).
Question 6
6. Désormais, on considère la suite \(\left(w_n\right)\) définie par
\(w_1 = \ln \left(u_1\right)\), \(w_2 = \ln \left(u_1\right) + \ln \left(u_2\right)\) et, pour tout entier naturel \(n \geqslant 3\), par
\[w_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \ln \left(u_k\right) = \ln \left(u_1\right) + \ln \left(u_2\right) + \ldots + \ln \left(u_n\right).\]
Montrer que \(w_7 = 2w_1\).
Exercice 4 (sujet de bac S 2020, France, septembre) — candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 points
Partie A
Pour tout entier naturel \(n\), on définit les entiers \(a_n = 6 \times 5^n - 2\) et \(b_n = 3 \times 5^n + 1\).
1. a. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), chacun des entiers \(a_n\) et \(b_n\) est congru à 0 modulo 4.
b. Pour tout entier naturel \(n\), calculer \(2b_n - a_n\).
c. Déterminer le PGCD de \(a_n\) et \(b_n\).
2. a. Montrer que \(b_{2020} \equiv 3 \times 2^{2020} + 1\ [7]\).
b. En remarquant que \(2020 = 3 \times 673 + 1\), montrer que \(b_{2020}\) est divisible par 7.
c. L'entier \(a_{2020}\) est-il divisible par 7 ? Justifier la réponse.
Partie B
On considère les suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) définies par :
\[u_0 = v_0 = 1 \text{ et, pour tout entier naturel } n,\ \left\{\begin{array}{l c l} u_{n+1} & = & 3u_n + 4v_n \\ v_{n+1} & = & u_n + 3v_n \end{array}\right.\]
Pour un entier naturel \(N\) donné, on souhaite calculer les termes de rang \(N\) des suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) et on se demande si l'algorithme ci-dessous permet ce calcul.
| Algorithme | |
|---|---|
| 1. | \(U \leftarrow 1\) |
| 2. | \(V \leftarrow 1\) |
| 3. | \(K \leftarrow 0\) |
| 4. | Tant que \(K \lt N\) |
| 5. | \(U \leftarrow 3U + 4V\) |
| 6. | \(V \leftarrow U + 3V\) |
| 7. | \(K \leftarrow K + 1\) |
| 8. | Fin Tant que |
1. Par ailleurs, on fait fonctionner l'algorithme avec \(N = 2\).
Recopier et compléter le tableau ci-dessous en donnant les valeurs successivement affectées aux variables \(U\), \(V\) et \(K\).
| \(U\) | \(V\) | \(K\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 |
| 7 | 10 | 1 |
2. L'algorithme permet-il effectivement de calculer \(u_N\) et \(v_N\) pour une valeur de \(N\) donnée ?
Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de cet algorithme afin que les variables \(U\) et \(V\) contiennent bien les valeurs de \(u_N\) et \(v_N\) à la fin de son exécution.
Partie C
Pour tout entier naturel \(n\), on définit la matrice colonne \(X_n = \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}\).
1. Donner, sans justification, une matrice carrée \(A\) d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel \(n\) :
\[X_{n+1} = AX_n.\]
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(X_n = A^nX_0\).
3. Par ailleurs, on admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(A^n = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2 \times 5^n + 2 & 4 \times 5^n - 4\\ 5^n - 1 & 2 \times 5^n + 2\end{pmatrix}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \dfrac{a_n}{4}\) et \(v_n = \dfrac{b_n}{4}\), où \(a_n\) et \(b_n\) sont les nombres entiers définis dans la partie A.
4. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) et \(v_n\) sont premiers entre eux.
Présentation du sujet de bac S 2020, France, septembre
Le sujet de bac S 2020, France, septembre du 11 septembre 2020 comporte cinq exercices. D'abord, l'exercice 1 (5 points) porte sur : limites et asymptotes, dérivée d'un quotient, primitives, volume par une intégrale, intervalle de fluctuation. Ensuite, l'exercice 2 (6 points) aborde : loi normale, loi exponentielle et absence de mémoire, arbre pondéré, nombres complexes. Puis, l'exercice 3 (4 points) traite : vecteur normal et équation de plan, parallélisme droite-plan, projeté orthogonal, sphère et intersection avec une droite. Puis, l'exercice 4 (5 points) porte sur : suite définie par un produit, algorithme, suite monotone et bornée, récurrence, logarithme d'un produit. Enfin, l'exercice 4 (5 points) traite : congruences, PGCD et Bézout, petit cycle des puissances de 2 modulo 7, algorithme, suites matricielles et récurrence.
Pour gérer le temps, lisez d'abord l'énoncé en entier, puis commencez par l'exercice qui vous inspire le plus. Ensuite, visez environ 70 minutes pour l'exercice 2, le plus lourd du sujet. Enfin, ne restez jamais bloqué plus de dix minutes sur une question : admettez-la et passez à la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac S 2020, France, septembre
Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.
Une fois l'épreuve terminée, comparez vos réponses avec la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
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