Valeur approchée
En bref : Une valeur approchée d’un nombre est un autre nombre, plus simple, qui en est proche ; elle est dite par défaut si elle est plus petite et par excès si elle est plus grande.
6èmeNombres et calculs
Définition : Valeur approchée
Une valeur approchée remplace un nombre trop long par un nombre plus court qui reste proche de l’original. Certains nombres ont en effet trop de chiffres pour être écrits en entier, et d’autres sont inutilement précis.
Elle est « par défaut » quand elle est inférieure au nombre exact, « par excès » quand elle est supérieure. Pour \(2{,}718\), le nombre \(2{,}7\) convient par défaut au dixième, et \(2{,}8\) par excès. L’arrondi est celle qui se trouve la plus proche. Plus on garde de décimales, plus l’écart diminue.
Comment le reconnaître
- Une consigne demande de donner une approximation « au dixième », « au centième » ou « par défaut ».
- Un nombre a une infinité de décimales, comme le résultat d’une division qui ne s’arrête pas.
- On mesure avec un instrument qui ne donne qu’un nombre limité de chiffres.
- Un encadrement est demandé : un nombre juste en dessous et un autre juste au-dessus.
La méthode
- Repérer le rang demandé et couper le nombre à ce rang : on obtient la version par défaut.
- Ajouter une unité à ce rang pour obtenir la version par excès.
- Vérifier l’encadrement : le nombre de départ doit se trouver entre les deux.
- Pour la plus proche, comparer les écarts, ou regarder le chiffre suivant : c’est l’arrondi.
Valeur approchée : exemple corrigé
Énoncé
Une diagonale d’écran mesure \(41{,}87\) cm. Donner ses encadrements par défaut et par excès à l’unité, puis au dixième. Quelle valeur est la plus proche du nombre ?
Corrigé
À l’unité : par défaut \(41\), par excès \(42\). Au dixième : par défaut \(41{,}8\), par excès \(41{,}9\).
Au dixième, l’écart avec \(41{,}9\) vaut \(0{,}03\), avec \(41{,}8\) il vaut \(0{,}07\). La plus proche est donc 41,9, et l’encadrement \(41{,}8 < 41{,}87 < 41{,}9\) est vérifié.
À toi de jouer
Question 1
Donner la version par défaut de \(3{,}1416\) au centième.
Voir la réponse
On coupe après deux décimales : \(3{,}14\).
Question 2
\(0{,}67\) est-il une approximation par défaut ou par excès de \(\frac{2}{3}\) ?
Voir la réponse
\(\frac{2}{3} = 0{,}6666\) et ainsi de suite, et \(0{,}67\) est plus grand : il s’agit d’une approximation par excès.
Ne pas confondre Valeur approchée et Arrondi
Une valeur approchée peut être choisie librement, plus petite ou plus grande que le nombre. L’arrondi est celle qui est la plus proche à un rang donné, et il n’y en a qu’une. Tout arrondi est donc une approximation de ce genre, mais l’inverse est faux.
Pour aller plus loin
Cours
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Mots voisins
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