Inégalité triangulaire
En bref : L’inégalité triangulaire affirme que, dans un triangle, chaque côté est inférieur ou égal à la somme des deux autres ; si la plus grande longueur dépasse cette somme, le triangle n’existe pas.
5èmeGéométrie plane
Définition : Inégalité triangulaire
L’inégalité triangulaire traduit une évidence : aller directement d’un point à un autre est toujours plus court, ou au pire aussi long, que passer par un troisième point.
Pour trois points \(A\), \(B\) et \(C\), elle s’écrit \(AB \le AC + CB\). L’égalité n’a lieu que si \(C\) est sur le segment \([AB]\), et le triangle est alors aplati. Pour savoir si l’on peut construire un triangle avec trois longueurs données, il suffit de tester la plus grande.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne trois longueurs et demande si un triangle peut exister avec elles.
- On compare un trajet direct à un trajet avec détour, et il faut justifier lequel est le plus court.
- Le compas, utilisé pour construire un triangle, donne deux arcs qui ne se coupent pas.
- On veut encadrer la longueur d’un troisième côté quand on connaît les deux autres.
La méthode
- Repérer la plus grande des trois longueurs.
- Additionner les deux autres longueurs.
- Comparer : si la plus grande est strictement inférieure à cette somme, le triangle existe ; si elle est égale, il est aplati ; si elle est supérieure, il n’existe pas.
- Rédiger la conclusion en citant les nombres comparés.
Inégalité triangulaire : exemple corrigé
Énoncé
Léa dispose de trois baguettes de \(7\) cm, \(12\) cm et \(4{,}5\) cm. Peut-elle former un triangle avec ces trois baguettes ?
Corrigé
La plus longue baguette mesure \(12\) cm. Les deux autres font ensemble \(7 + 4{,}5 = 11{,}5\) cm.
Comme \(12 > 11{,}5\), la plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée. Léa ne peut pas former de triangle.
À toi de jouer
Question 1
Existe-t-il un triangle de côtés \(6\) cm, \(9\) cm et \(14\) cm ?
Voir la réponse
Oui : \(6 + 9 = 15\) et \(14 < 15\), donc la condition est remplie.
Question 2
Dans un triangle, deux côtés mesurent \(5\) cm et \(8\) cm. Entre quelles valeurs se situe le troisième côté ?
Voir la réponse
Il est supérieur à \(8 – 5 = 3\) cm et inférieur à \(5 + 8 = 13\) cm.
Ne pas confondre Inégalité triangulaire et Somme des angles d'un triangle
L’inégalité triangulaire parle des longueurs des côtés et décide si un triangle existe. La somme des angles d’un triangle parle des mesures des angles : elle vaut toujours \(180^\circ\) et permet de calculer un angle manquant. Une propriété compare des longueurs, l’autre additionne des angles.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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