Section plane d’un solide
En bref : Une section plane est la figure que l’on voit sur la face de coupe quand on tranche un solide avec un plan ; sa forme dépend du solide et de l’orientation de la coupe.
3èmeGéométrie dans l'espace
Définition : Section plane d'un solide
Imaginez un coup de couteau bien droit à travers un fromage : la surface lisse qui apparaît est une section plane. Mathématiquement, c’est l’intersection du solide et d’un plan.
Les cas à connaître au programme sont les suivants. Un plan parallèle à la base d’une pyramide ou d’un cône donne une réduction de cette base, dont les longueurs sont multipliées par un rapport \(k\) et les aires par \(k^2\). Un plan parallèle ou perpendiculaire à l’axe d’un cylindre donne un rectangle ou un disque. Un plan coupe une boule suivant un disque, dont le contour est un cercle.
Comment le reconnaître
- L’énoncé dit « on coupe le solide par un plan parallèle à la base » et demande la nature de la face obtenue.
- On voit sur le schéma une zone coloriée à l’intérieur d’une pyramide, d’un cône ou d’un pavé.
- Un rapport de réduction \(k\) est donné ou à calculer entre deux hauteurs.
- Il faut calculer l’aire ou le périmètre d’une face de coupe.
La méthode
- Identifier le solide, puis la position du plan : parallèle à la base, perpendiculaire à l’axe, passant par le centre.
- Nommer la forme obtenue : une réduction de la base, un rectangle, un disque.
- Si le plan est parallèle à la base, calculer le rapport \(k\) entre la distance au sommet de la coupe et la hauteur totale.
- Multiplier les longueurs de la base par \(k\) et son aire par \(k^2\).
Section plane d'un solide : exemple corrigé
Énoncé
Une pyramide de sommet \(S\) a pour base un carré de côté \(9\) cm et pour hauteur \(12\) cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, à \(8\) cm du sommet. Quelle est la nature de la section, son côté et son aire ?
Corrigé
Le plan est parallèle à la base : la section est un carré, réduction de la base.
Le rapport de réduction est \(k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). Son côté mesure \(9 \times \frac{2}{3} = 6\) cm.
Son aire vaut \(6^2 = 36\) cm², ce qui confirme \(81 \times k^2 = 81 \times \frac{4}{9} = 36\). Résultat : un carré de 6 cm de côté et d’aire 36 cm².
À toi de jouer
Question 1
On coupe un cube d’arête 5 cm par un plan parallèle à l’une de ses faces. Quelle est la section ?
Voir la réponse
C’est un carré de 5 cm de côté, identique à la face.
Question 2
Quelle est la section d’un cylindre par un plan parallèle à son axe ? Et par un plan perpendiculaire à l’axe ?
Voir la réponse
Un rectangle pour le plan parallèle à l’axe, un disque pour le plan perpendiculaire.
Ne pas confondre Section plane d'un solide et Patron d'un solide
Une section plane est ce que l’on voit à l’intérieur quand on tranche le solide : une figure plane qui se trouve à une certaine profondeur. Un patron est le dépliage de la surface extérieure du solide, qui permet de le fabriquer en carton. Dans le premier cas on coupe, dans le second on déplie.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Pyramide
- Cône de révolution
- Cylindre de révolution
- Sphère
- Agrandissement et réduction
- Patron d'un solide
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