Valeur interdite
En bref : Une valeur interdite est un nombre que la variable ne peut pas prendre, parce qu’il rendrait un dénominateur égal à zéro et que la division par zéro n’existe pas.
3èmeCalcul littéral
Définition : Valeur interdite
Dans l’expression \(\frac{5x+1}{(x-3)(x+2)}\), tout nombre qui rend le bas de la fraction égal à \(0\) est une valeur interdite, car le calcul n’a alors plus de sens : on ne divise pas par zéro.
Pour les trouver, on écrit que chaque dénominateur est égal à \(0\) et l’on résout. Ici, \(x-3=0\) donne \(x=3\) et \(x+2=0\) donne \(x=-2\) : la fraction est définie pour tous les nombres sauf \(3\) et \(-2\). Une valeur interdite n’est jamais une solution d’une équation, même si les calculs semblent la fournir.
Comment le reconnaître
- Une expression contient une lettre au dénominateur d’une fraction, comme \(\frac{4}{2x-6}\).
- L’énoncé demande « pour quelles valeurs de \(x\) l’expression est-elle définie ? ».
- Une équation avec des fractions donne une solution suspecte qui annule un dénominateur.
- On simplifie une fraction algébrique et il faut préciser pour quels nombres l’égalité est valable.
La méthode
- Repérer chaque dénominateur qui contient la variable.
- Écrire que ce dénominateur est nul, et le résoudre ; avec un produit de facteurs, utiliser l’équation produit nul.
- Rassembler les nombres obtenus : ce sont les valeurs interdites.
- Écarter ces valeurs de la liste des solutions éventuelles et le préciser dans la conclusion.
Valeur interdite : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer les valeurs interdites de l’expression \(A = \frac{5x+1}{(x-3)(x+2)}\), puis calculer \(A\) pour \(x = 1\).
Corrigé
Le dénominateur est nul si \((x-3)(x+2) = 0\), donc si \(x-3 = 0\) ou \(x+2 = 0\), c’est-à-dire \(x = 3\) ou \(x = -2\).
Les valeurs interdites sont \(3\) et \(-2\).
Le nombre \(1\) est permis : \(A = \frac{5 \times 1 + 1}{(1-3)(1+2)} = \frac{6}{(-2) \times 3} = \frac{6}{-6} = -1\).
À toi de jouer
Question 1
Quelle est la valeur interdite de \(\frac{7}{x+9}\) ?
Voir la réponse
\(x + 9 = 0\) donne \(x = -9\).
Question 2
Quelles sont les valeurs interdites de \(\frac{6}{(x-5)(x+1)}\) ?
Voir la réponse
\(5\) et \(-1\), car ce sont les nombres qui annulent un des deux facteurs.
Ne pas confondre Valeur interdite et Ensemble de définition
Une valeur interdite est un nombre précis à exclure, comme 3 ou \(-2\). L’ensemble de définition est la liste complète de tous les nombres autorisés : ici, tous les réels sauf ces deux-là. Trouver les premières permet d’écrire le second.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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