Ensemble de définition
En bref : L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des réels pour lesquels son expression peut être calculée : on y exclut les valeurs qui annulent un dénominateur ou rendent négatif ce qui est sous une racine.
SecondeFonctions
Définition : Ensemble de définition
L’ensemble de définition d’une fonction \(f\) rassemble tous les nombres \(x\) que l’on a le droit de donner à \(f\). Pour chacun d’eux, la fonction fournit exactement un résultat ; en dehors, elle se bloque.
On le note souvent \(D_f\). Deux interdits reviennent sans cesse en Seconde : on ne divise jamais par zéro, et on ne prend pas la racine carrée d’un nombre négatif. Quand l’énoncé ne précise rien, on cherche le plus grand ensemble de réels où l’expression garde un sens, puis on l’écrit avec des intervalles et des réunions.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande pour quelles valeurs de \(x\) la fonction est définie, ou de déterminer \(D_f\).
- L’expression contient une fraction dont le dénominateur dépend de \(x\).
- Une racine carrée porte sur une expression qui contient \(x\).
- La courbe s’arrête net, ou présente un trou, au-dessus d’une valeur précise de l’axe des abscisses.
La méthode
- Repérer les interdits : chaque dénominateur et chaque expression placée sous une racine carrée.
- Traduire chaque interdit en condition : dénominateur \(\neq 0\), expression sous la racine \(\ge 0\).
- Résoudre chaque condition séparément, comme une équation ou une inéquation.
- Garder les valeurs qui respectent toutes les conditions à la fois et écrire le résultat avec des intervalles.
Ensemble de définition : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(g\) donnée par \(g(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-5}\).
Corrigé
Il y a deux interdits. Sous la racine, il faut \(x-3\ge 0\), donc \(x\ge 3\). Au dénominateur, il faut \(x-5\neq 0\), donc \(x\neq 5\).
Les deux conditions doivent être vraies en même temps : on garde les réels à partir de \(3\), mais on retire \(5\). Ainsi \(D_g=[3\,;\,5[\,\cup\,]5\,;\,+\infty[\).
À toi de jouer
Question 1
Quel est l’ensemble de définition de \(h(x)=\dfrac{4}{2x+7}\) ?
Voir la réponse
Il faut \(2x+7\neq 0\), donc \(x\neq -3{,}5\). Ainsi \(D_h=]-\infty\,;\,-3{,}5[\,\cup\,]-3{,}5\,;\,+\infty[\).
Question 2
Quel est l’ensemble de définition de \(k(x)=\sqrt{12-4x}\) ?
Voir la réponse
Il faut \(12-4x\ge 0\), donc \(x\le 3\). Ainsi \(D_k=]-\infty\,;\,3]\).
Ne pas confondre Ensemble de définition et Image d'un nombre
L’ensemble de définition regroupe les nombres que l’on peut mettre dans la fonction : ce sont des abscisses. L’image d’un nombre, elle, est le résultat obtenu : c’est une ordonnée. Une valeur peut être autorisée en entrée sans que l’on sache encore ce qu’elle donne en sortie.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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