Ensembles de nombres
En bref : Les ensembles de nombres s’emboîtent comme des poupées russes : entiers naturels, relatifs, décimaux, rationnels puis réels. Un nombre se range dans le plus petit d’entre eux qui le contient.
SecondeNombres et calculs
Définition : Ensembles de nombres
Les ensembles de nombres servent à ranger tous les nombres que l’on rencontre au lycée. On part des entiers naturels \(\mathbb{N}\), que l’on élargit aux entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) pour pouvoir soustraire sans limite.
Viennent ensuite les décimaux (écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule), les rationnels \(\mathbb{Q}\) (quotients d’entiers) et enfin les réels \(\mathbb{R}\), qui comblent tous les trous de la droite graduée. Chaque ensemble est contenu dans le suivant, comme des poupées russes : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande d’indiquer à quel ensemble appartient un nombre ou si une affirmation du type « \(x\in\mathbb{Q}\) » est vraie.
- On voit un symbole d’appartenance ou d’inclusion, comme \(\in\) ou \(\subset\), devant une lettre à double barre.
- Un nombre contient une racine carrée, une fraction ou une écriture décimale infinie que l’on doit situer.
- Il faut décider si une équation a une solution entière, décimale ou seulement réelle.
La méthode
- Pour classer un nombre dans les ensembles de nombres, le simplifier au maximum : réduire la fraction, calculer la racine si elle tombe juste.
- Regarder s’il est entier : positif, il est dans \(\mathbb{N}\), négatif, dans \(\mathbb{Z}\).
- Sinon, essayer de l’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule : c’est un décimal.
- Sinon, chercher une écriture en quotient d’entiers (rationnel) ; en l’absence de telle écriture, le nombre est seulement réel.
Ensembles de nombres : exemple corrigé
Énoncé
Pour chacun des nombres \(-\dfrac{18}{6}\), \(\dfrac{7}{12}\), \(\sqrt{49}\) et \(\sqrt{20}\), donner le plus petit ensemble qui le contient parmi \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), les décimaux, \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\).
Corrigé
On simplifie d’abord. \(-\dfrac{18}{6}=-3\) est un entier négatif : il appartient à \(\mathbb{Z}\). Ensuite \(\sqrt{49}=7\) est un entier positif : il appartient à \(\mathbb{N}\).
Le quotient \(\dfrac{7}{12}\) vaut \(0{,}58333\) avec des \(3\) sans fin, puisque \(12\) contient le facteur \(3\) : ce n’est pas un décimal, mais c’est un quotient d’entiers. Enfin \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) n’est pas rationnel. Résultats : \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{R}\) dans l’ordre.
À toi de jouer
Question 1
Le nombre \(0{,}375\) est-il décimal ? Est-il rationnel ?
Voir la réponse
Il est décimal, avec trois chiffres après la virgule. Il est aussi rationnel : \(0{,}375=\dfrac{3}{8}\).
Question 2
Le nombre \(\dfrac{1}{7}\) est-il décimal ?
Voir la réponse
Non : le dénominateur \(7\) n’est pas formé de facteurs \(2\) et \(5\), donc la suite des chiffres après la virgule ne se termine jamais. Il reste rationnel sans être décimal.
Ne pas confondre Ensembles de nombres et Nombre décimal
Un décimal est toujours un rationnel, mais la réciproque est fausse. \(2{,}75\) se termine après deux chiffres : c’est un décimal. \(\dfrac{1}{3}\) est un quotient d’entiers dont les chiffres se répètent à l’infini. Le premier groupe est donc plus petit que le second.
Pour aller plus loin
Cours
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