Quartile
En bref : Les quartiles Q1 et Q3 d’une série sont les valeurs qui séparent un quart des données les plus petites et un quart des plus grandes ; avec la médiane, ils partagent la série en quatre.
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Définition : Quartile
Dans une série rangée par ordre croissant, le premier quartile \(Q_1\) est la plus petite valeur telle qu’au moins un quart des données lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile \(Q_3\) est la plus petite valeur telle qu’au moins trois quarts des données lui soient inférieures ou égales.
Pour les trouver, on calcule le rang : pour une série de \(n\) valeurs, \(Q_1\) est la valeur de rang \(\dfrac{n}{4}\) arrondi à l’entier supérieur, et \(Q_3\) celle de rang \(\dfrac{3n}{4}\) arrondi de même. Avec la médiane, ces valeurs mesurent la dispersion et servent à construire le diagramme en boîte.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de situer la moitié centrale d’une série ou de comparer deux séries autrement que par la moyenne.
- On doit tracer un diagramme en boîte ou calculer l’écart interquartile.
- La série contient des valeurs extrêmes qui faussent la moyenne et il faut une mesure plus robuste.
- On cherche la valeur en dessous de laquelle se trouvent au moins \(25\) % ou \(75\) % des données.
La méthode
- Ranger toutes les valeurs de la série dans l’ordre croissant et compter l’effectif total \(n\).
- Calculer \(\dfrac{n}{4}\), l’arrondir à l’entier supérieur : c’est le rang de \(Q_1\).
- Calculer \(\dfrac{3n}{4}\), l’arrondir de même : c’est le rang de \(Q_3\).
- Lire les deux valeurs dans la liste ordonnée et, si besoin, calculer \(Q_3-Q_1\).
Quartile : exemple corrigé
Énoncé
Onze coureurs d’une course de VTT autour du lac d’Annecy ont mis, en minutes : \(41\), \(44\), \(45\), \(47\), \(48\), \(50\), \(52\), \(53\), \(57\), \(58\), \(63\). Calculer \(Q_1\), la médiane, \(Q_3\) et l’écart interquartile.
Corrigé
La série est déjà ordonnée et \(n=11\). Pour \(Q_1\) : \(\dfrac{11}{4}=2{,}75\), arrondi à \(3\), donc \(Q_1=45\) (troisième valeur). Pour \(Q_3\) : \(\dfrac{33}{4}=8{,}25\), arrondi à \(9\), donc \(Q_3=57\) (neuvième valeur).
La médiane est la sixième valeur, soit \(50\). L’écart interquartile vaut \(57-45=\) \(12\) minutes.
À toi de jouer
Question 1
Pour la série \(3\), \(5\), \(6\), \(8\), \(9\), \(12\), \(15\), \(20\), donner \(Q_1\) et \(Q_3\).
Voir la réponse
Ici \(n=8\) : \(\dfrac{8}{4}=2\), donc \(Q_1=5\) ; \(\dfrac{24}{4}=6\), donc \(Q_3=12\).
Question 2
Que signifie \(Q_3=26\) pour une série de salaires ?
Voir la réponse
Au moins \(75\) % des salaires sont inférieurs ou égaux à \(26\), et au plus un quart dépasse cette valeur.
Ne pas confondre Quartile et Médiane
La médiane coupe la série en deux groupes de même effectif, avec la moitié des valeurs de chaque côté. Les quartiles coupent chacun de ces groupes encore une fois, ce qui donne quatre paquets de taille voisine. Il y a un seul médian mais deux quartiles, \(Q_1\) en bas et \(Q_3\) en haut.
Pour aller plus loin
Cours
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