Fonction valeur absolue
En bref : La fonction valeur absolue associe à x sa distance à zéro ; sa courbe a la forme d’un V de sommet l’origine, elle décroît sur les négatifs, croît sur les positifs et son minimum est zéro.
PremièreFonctions
Définition : Fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est la fonction \(x\mapsto|x|\) : elle vaut \(x\) lorsque \(x\ge 0\) et \(-x\) lorsque \(x<0\). Elle remplace donc tout nombre négatif par son opposé et ne produit jamais de résultat négatif.
Sa courbe est formée de deux demi-droites de pentes \(-1\) et \(1\) qui se rejoignent à l’origine, en un angle marqué : on dit qu’elle a une pointe en \(0\). La fonction est paire, décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) puis croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un minimum égal à \(0\). La fonction \(x\mapsto|x-a|+b\) a la même forme, avec la pointe en \((a\,;\,b)\).
Comment le reconnaître
- Une expression contient des barres verticales autour d’un calcul qui dépend de \(x\).
- La courbe est un V, ou une succession de segments qui se raccordent en une pointe.
- On demande d’écrire une expression sans barres, en distinguant plusieurs cas selon le signe de ce qu’elles contiennent.
- Il faut résoudre une équation comme \(|x-2|=3\) en s’aidant du graphique.
La méthode
- Chercher la valeur qui annule l’expression entre les barres : c’est là que se situe la pointe.
- Distinguer deux cas : si l’expression est positive, la barre se retire telle quelle ; si elle est négative, on change tous ses signes.
- Résoudre dans chaque cas, puis ne garder que les solutions qui respectent la condition du cas.
- Pour tracer, placer la pointe puis deux demi-droites de pentes opposées.
Fonction valeur absolue : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f(x)=|x-2|+1\). Écrire \(f(x)\) sans barres selon les valeurs de \(x\), résoudre \(f(x)=3\) et donner le minimum de \(f\).
Corrigé
Si \(x\ge 2\), alors \(x-2\ge 0\) et \(f(x)=x-2+1=x-1\). Si \(x<2\), alors \(|x-2|=-(x-2)\) et \(f(x)=-x+2+1=3-x\).
Pour \(f(x)=3\) : \(x-1=3\) donne \(x=4\), valide car \(4\ge 2\) ; \(3-x=3\) donne \(x=0\), valide car \(0<2\). Les solutions sont \(0\) et \(4\). Comme \(|x-2|\ge 0\), le minimum est \(1\), atteint en \(x=2\).
À toi de jouer
Question 1
Sur \([-3\,;\,2]\), quel est le maximum de \(g(x)=|x|\) ?
Voir la réponse
Les extrémités donnent \(g(-3)=3\) et \(g(2)=2\), et le minimum est \(0\) en \(0\). Le maximum est \(3\), atteint en \(x=-3\).
Question 2
Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(h(x)=|2x-6|=0\) ? Que vaut \(h(0)\) ?
Voir la réponse
\(2x-6=0\) donne \(x=3\). Et \(h(0)=|-6|=6\).
Ne pas confondre Fonction valeur absolue et Valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre est un seul résultat, comme \(|-7|=7\). La fonction valeur absolue regroupe tous ces résultats et se représente par une courbe : elle associe à chaque réel \(x\) le nombre \(|x|\). On passe de l’une à l’autre comme on passe d’un nombre à une fonction.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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